Кристаллографическая группа

Кристаллографическая группа - дискретная группа движений n-мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область. Две кристаллографические группы считаются эквивалентными, если они сопряжены в группе аффинных преобразований пространства евклидова пространства.

Происхождение теории кристаллографических групп связано с изучением симметрии орнаментов (n=2) и кристаллических структур (n=3). Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трёхмерных) кристаллографических групп была получена в конце 19 в. Е. С. Фёдоровым и несколько позже А. Шёнфлисом (A. Schönflies). С точностью до эквивалентности имеется 17 плоских и 219 пространственных кристаллографических групп; если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряжённости при помощи аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию, то их будет 230.

Основные резульаты для многомерных кристаллографических групп были получены Бибербахом (Bieberbach), он в частности доказал:

1. Всякая $n$-мерная кристаллографическая группа $\Gamma$ содержит $n$ линейно независимых параллельных переносов; группа $G$ линейных частей преобразований (т.е. обаз $\Gamma$ в $GL_{n}$) конечна.
2. Две кристаллографические группы эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны как абстрактные группы.
3. При любом $n$ имеется лишь конечное число $n$-мерных кристаллографических групп, рассматриваемых с точностью до эквивалентности (что является решением 18-й проблемы Гильберта).

Теорема 1 позволяет дать следующее описание строения кристаллографических групп как абстрактных групп: Пусть $L$ - совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группе $\Gamma$. Тогда $L$ - нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная $\mathbb {Z} ^{n}$ и совпадающая со своим централизатором в $\Gamma$. Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группе $\Gamma$ является и достаточным условием того, чтобы группа $\Gamma$ была изоморфна кристаллографической группе.

Группа $G$ линейных частей кристаллографической группы $\Gamma$ сохраняет решётку $L$; иными словами, в базисе решетки $L$ преобразования из $G$ записываются целочисленными матрицами.