Коллинеарность

Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется, синоним «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными»).

Обозначения

• Коллинеарные векторы: ${\vec {a}}||{\vec {b}}$
• Сонаправленные векторы: ${\vec {a}}\uparrow \uparrow {\vec {b}}$
• Противоположно направленные векторы: ${\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}$

Свойства коллинеарности

Пусть ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ — векторы пространства $\mathbb {R} ^{n}$. Тогда верны следующие утверждения:

• Коллинеарность — отношение эквивалентности, то есть оно:
  1. рефлексивно: ${\vec {a}}||{\vec {a}}$
  2. симметрично: ${\vec {a}}||{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {b}}||{\vec {a}}$
  3. транзитивно: $\left({\vec {a}}||{\vec {b}}\right)\land \left({\vec {b}}||{\vec {c}}\right)\Rightarrow {\vec {a}}||{\vec {c}}$
• Нулевой вектор коллинеарен любому вектору: ${\vec {a}}||{\vec {0}}$
• Скалярное произведение коллинеарных векторов ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\pm ab$ равно произведению длин векторов (взятых со знаком «-», если векторы разнонаправленны)
• Векторное произведение коллинеарных векторов ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=0$. Это критерий коллинеарности двух векторов.
• Коллинеарные векторы линейно зависимы. Это тоже критерий коллинеарности.
• Существует действительное число $\;\lambda$ такое, что ${\vec {a}}=\lambda {\vec {b}}$ для коллинеарных ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$, за исключением особого случая ${\vec {b}}={\vec {0}}$. Это переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий коллинеарности.
• На плоскости 2 неколлинеарных вектора ${\vec {a}},{\vec {b}}$ образуют базис. Это значит, что любой вектор ${\vec {c}}$ можно представить в виде: ${\vec {c}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}$. Тогда $\;\{x_{1},x_{2}\}$ будут координатами ${\vec {c}}$ в данном базисе.

Другие объекты

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного линейного пространства).

Иногда коллинеарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной прямой.

См. также

• Компланарность