Ротор (дифференциальный оператор)

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ,$ где $\mathbf {\nabla }$ — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

$\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}$.

Нормаль $\mathbf {n}$ к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$ вычисляется следующим образом:

$\operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} )=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .$

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

$\operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{pmatrix}},$

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

$\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\mathbf {r} ),$

где $\mathbf {\omega }$ — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а $\varphi$ — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор $\mathbf {v} _{O}$), вращательного движения (вектор $\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$) и потенциального движения — деформации (вектор $\nabla \varphi$). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство $\operatorname {rot} ~\mathbf {v} =2\mathbf {\omega } ,$ и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии дляантициклонаа, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

• Линейность:

$\operatorname {rot} \;(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} +b\;\operatorname {rot} ~\mathbf {G}$

для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b.

• Если $\varphi$ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

$\operatorname {rot} ~\varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi ~\times \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} ,$

или

$\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \times \mathbf {F} ).$

• Дивергенция ротора равна нулю:

$\operatorname {div} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0$ или $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.$

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

$\operatorname {div} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} ~\mathbf {G} .$

• Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

$\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0$

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

$\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi$

для некоторого скалярного поля $\varphi .$

• Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

$\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \,\mathbf {dS}$

Ротор в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname {rot} \;\mathbf {A} =\operatorname {rot} \;(\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} +$

$+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} +{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}} ,$

где H_i — коэффициенты Ламе.

Примеры

Простое векторное поле

Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:

${\vec {F}}(x,y)=y{\boldsymbol {\hat {x}}}-x{\boldsymbol {\hat {y}}}$.

Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.

Вычислим ротор:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=0{\boldsymbol {\hat {x}}}+0{\boldsymbol {\hat {y}}}+[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y]{\boldsymbol {\hat {z}}}=-2{\boldsymbol {\hat {z}}}$

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

$F(x,y)=-x^{2}{\boldsymbol {\hat {y}}}$.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении -z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=0{\boldsymbol {\hat {x}}}+0{\boldsymbol {\hat {y}}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2}){\boldsymbol {\hat {z}}}=-2x{\boldsymbol {\hat {z}}}$

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и -z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор F с плоскостью x=0, выделенной темно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по -z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Основная статья: Формулы векторного анализа

Рассмотрим пример ∇ × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

$\mathbf {\nabla \times } \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .$

Если v и ∇ поменять местами:

$\mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,$

что является фейнмановской записью с нижним индексом ∇_F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример ∇ × [ ∇ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

$\nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,$

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v → ∇.

Поясняющие примеры

• В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор везде. (см. Вихревое движение).
• В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
• Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
• Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

См. также

• Векторный анализ
• Оператор набла
• Теорема Грина
• Формулы векторного анализа