Теорема Леви о непрерывности

Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

Формулировка

Пусть $\scriptstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины $X_{n}$, где $\scriptstyle n\in \mathbb {N}$, символом $\phi _{n}(t)$. Тогда если $\scriptstyle X_{n}\to X$ по распределению при $\scriptstyle n\to \infty$, и $\phi (t)$ — характеристическая функция $X$, то

$\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$.

Обратно, если $\scriptstyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$, где $\scriptstyle \phi \in C(0)$ — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то $\phi (t)$ является характеристической функцией некоторой случайной величины $X$, и

$X_{n}\to X$ по распределению при $n\to \infty$.

Замечание

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если $\phi _{n}(t)\to \phi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$, где $\phi _{n}(t)$ — характеристическая функция $X_{n}$, и $\phi (t)$ — характеристическая функция $X$, то $X_{n}\to X$ по распределению при $n\to \infty$. Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

См. также

• Леви, Поль.