Равенство Парсеваля: различия между версиями

[непроверенная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Версия от 18:45, 18 июня 2009

Ра́венство Парсева́ля — это аналог теоремы Пифагора в векторных пространствах со скалярным произведением. Названо по аналогии с теоремой для периодических функций, сформулированой Парсевалем в 1799 году.

Пусть дано гильбертово пространство $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ , где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — скалярное произведение, определённое на множестве $H$ . Обозначим $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ индуцированную этим скалярным произведением норму. Тогда если $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в $H$ , то

\|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}.

@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 ==Формулировка==
-Пусть дано [[гильбертово пространство]] <math>(H,\langle \cdot, \cdot\rangle)</math>, где <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> — скалярное произведение, определённое на [[Множество|множестве]] <math>H</math>. Обозначим <math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</math> индуцированную этим скалярным произведением [[Норма (математика)|норму]]. Тогда если <math>\{e_k\}_{k=1}^{\infty}</math> — [[ортонормированный базис]] в <math>H</math>, то
+Пусть дано [[гильбертово пространство]] <math>(H,\langle \cdot, \cdot\rangle)</math>, где <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> — [[скалярное произведение]], определённое на [[Множество|множестве]] <math>H</math>. Обозначим <math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</math> индуцированную этим скалярным произведением [[Норма (математика)|норму]]. Тогда если <math>\{e_k\}_{k=1}^{\infty}</math> — [[ортонормированный базис]] в <math>H</math>, то
 :<math>\|x\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}\left|\langle x,e_k\rangle\right|^2.</math>