Обратная функция

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение

Функция $g:Y\to X$ является обратной к функции $f:X\to Y$ если для них выполнены следующие два тождества:

$f(g(y))=y$ для всякого $y\in Y$

$g(f(x))=x$ для всякого $x\in X$

Условие существования обратной функции (обратимости)

• Функция $f(x)$ обратима на интервале $[a;b]$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она биективна.

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $x=F(y)$ относительно $y$. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к $F$ не существует.

Согласно теореме о неявной функции выразить $y$ из уравнения $x-F(y)=0$ возможно в том и только том случае, когда функция $F(y)$ монотонна. Но даже в противном случае возможно обратить функцию на любом из промежутков её монотонности. Так, можно говорить, что ${\sqrt {x}}$ является обратной функцией к $x^{2}$ на $[0,+\infty )$. На другом промежутке, точнее $(-\infty ,0]$, обратная функция другая: $-{\sqrt {x}}$.

Свойства

• Областью определения $F^{-1}$ является множество $Y$, а областью значений множество $X$.
• По построению имеем:

$y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)$

или

$F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y$,

$F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X$,

или короче

$F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}$,

$F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}$,

где $\circ$ означает композицию функций, а $\mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}$ — тождественные отображения на $X$ и $Y$ соответственно.

• Функция $F$ является обратной к $F^{-1}$:

$\left(F^{-1}\right)^{-1}=F$.

• Пусть $F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R}$ — биекция. Пусть $F^{-1}:Y\to X$ её обратная функция. Тогда графики функций $y=F(x)$ и $y=F^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y=x$.

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

$F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},$

где коэффициенты $A_{k}$ задаются рекурсивной формулой:

$A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x\\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}\end{cases}}$

Примеры

• Если $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}$, где $a>0,$ то $F^{-1}(x)=\log _{a}x.$
• Если $F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R}$, где $a,b\in \mathbb {R}$ фиксированные постоянные, то $F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.$
• Если $F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z}$, то $F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.$

См. также

• Теорема Лагранжа об обращении рядов