Строка 162:
Строка 162:
== Ссылки ==
== Ссылки ==
* [http://kontrolnaya-rabota.ru/s/matrix/determination/ Расчет определителя матрицы с подробными объяснениями с отправкой на email]
* Расчет определителя матрицы [http://www.reshalki.ru/index.php/reshalki/62 онлайн]
* Расчет определителя матрицы [http://www.reshalki.ru/index.php/reshalki/62 онлайн]
*[http://www.matesha.ru/opredelitel.php Пошаговое вычисление определителя матрицы в режиме онлайн]
*[http://www.matesha.ru/opredelitel.php Пошаговое вычисление определителя матрицы в режиме онлайн]
Определи́тель (или детермина́нт ) — одно из основных понятий линейной алгебры . Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом , в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
Определитель матрицы А обозначается как: det(A) , |А| , ||A|| или Δ(A) .
Определение через разложение по первой строке
Схема расчета определителя матрицы
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
.
Для матрицы порядка 1 детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:
Δ
=
|
a
11
|
=
a
11
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}}
Для матрицы
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
детерминант определяется как
Δ
=
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
Для матрицы
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
определитель задаётся рекурсивно:
Δ
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
1
+
j
a
1
j
M
¯
j
1
{\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}}
, где
M
¯
j
1
{\displaystyle {\bar {M}}_{j}^{1}}
— дополнительный минор к элементу
a
1
j
{\displaystyle a_{1j}}
. Эта формула называется разложением по строке .
В частности, формула вычисления определителя матрицы
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
такова:
Δ
=
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
=
a
11
|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
−
a
12
|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
+
a
13
|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
=
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=}
=
a
11
a
22
a
33
−
a
11
a
23
a
32
−
a
12
a
21
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
13
a
21
a
32
−
a
13
a
22
a
31
{\displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}}
Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):
Δ
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
+
1
a
i
1
M
¯
1
i
{\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}}
Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):
Δ
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
i
+
j
a
i
j
M
¯
j
i
{\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}}
Пусть
Δ
~
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
i
+
j
a
i
j
M
¯
j
i
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}}
.
Докажем, что
Δ
~
=
Δ
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=\Delta }
по индукции.
Видно, что для матрицы
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
это верно:
Δ
2
~
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
i
+
j
a
i
j
M
¯
j
i
=
−
a
21
a
12
+
a
22
a
11
=
Δ
2
{\displaystyle {\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta _{2}}
Предположим, что для матрицы порядка n−1
Δ
~
n
−
1
=
Δ
n
−
1
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}_{n-1}=\Delta _{n-1}}
— верно.
Δ
n
~
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
i
+
j
a
i
j
M
¯
j
i
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
i
+
j
a
i
j
(
∑
k
<
j
(
−
1
)
1
+
k
a
1
k
M
¯
j
k
i
1
+
∑
k
>
j
(
−
1
)
k
a
1
k
M
¯
j
k
i
1
)
{\displaystyle {\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\left(\sum _{k<j}(-1)^{1+k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}+\sum _{k>j}(-1)^{k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}\right)}
Соберём коэффициенты при
M
¯
j
0
k
0
i
1
{\displaystyle {\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}}
:
j
0
>
k
0
:
(
−
1
)
i
+
j
0
a
i
j
0
(
−
1
)
1
+
k
0
a
1
k
0
+
(
−
1
)
i
+
k
0
a
i
k
0
(
−
1
)
j
0
a
1
j
0
=
(
−
1
)
i
+
j
0
+
k
0
+
1
(
a
i
j
0
a
1
k
0
−
a
i
k
0
a
1
j
0
)
=
{\displaystyle j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}}a_{1j_{0}}=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}(a_{ij_{0}}a_{1k_{0}}-a_{ik_{0}}a_{1j_{0}})=}
=
(
−
1
)
i
+
j
0
+
k
0
+
1
M
j
0
k
0
1
i
{\displaystyle =(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}}
j
0
<
k
0
:
(
−
1
)
i
+
j
0
a
i
j
0
(
−
1
)
k
0
a
1
k
0
+
(
−
1
)
i
+
k
0
a
i
k
0
(
−
1
)
j
0
+
1
a
1
j
0
=
(
−
1
)
i
+
j
0
+
k
0
+
1
(
a
i
k
0
a
1
j
0
−
a
i
j
0
a
1
k
0
)
=
{\displaystyle j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{k_{0}}a_{1k_{0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}+1}a_{1j_{0}}=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}(a_{ik_{0}}a_{1j_{0}}-a_{ij_{0}}a_{1k_{0}})=}
=
(
−
1
)
i
+
j
0
+
k
0
+
1
M
j
0
k
0
1
i
{\displaystyle =(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}}
Δ
n
~
=
∑
j
≠
k
(
−
1
)
i
+
j
+
k
+
1
M
j
k
1
i
M
¯
j
k
1
i
{\displaystyle {\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk}^{1i}}
Δ
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
1
+
j
a
1
j
M
¯
j
1
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
1
+
j
a
1
j
(
∑
k
<
j
(
−
1
)
i
+
k
−
1
a
i
k
M
¯
j
k
1
i
+
∑
k
>
j
(
−
1
)
i
+
k
−
2
a
i
k
M
¯
j
k
1
i
)
{\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\left(\sum _{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^{1i}+\sum _{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^{1i}\right)}
Соберём коэффициенты при
M
¯
j
0
k
0
i
1
{\displaystyle {\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}}
:
j
0
>
k
0
:
(
−
1
)
1
+
j
0
a
1
j
0
(
−
1
)
i
+
k
0
−
1
a
i
k
0
+
(
−
1
)
1
+
k
0
a
1
k
0
(
−
1
)
i
+
j
0
−
2
a
i
j
0
=
(
−
1
)
j
0
+
i
+
k
0
(
a
1
j
0
a
i
k
0
−
a
1
k
0
a
i
j
0
)
=
{\displaystyle j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-1}a_{ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-2}a_{ij_{0}}=(-1)^{j_{0}+i+k_{0}}(a_{1j_{0}}a_{ik_{0}}-a_{1k_{0}}a_{ij_{0}})=}
=
(
−
1
)
i
+
j
0
+
k
0
+
1
M
j
0
k
0
1
i
{\displaystyle =(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}}
j
0
<
k
0
:
(
−
1
)
1
+
j
0
a
1
j
0
(
−
1
)
i
+
k
0
−
2
a
i
k
0
+
(
−
1
)
1
+
k
0
a
1
k
0
(
−
1
)
i
+
j
0
−
1
a
i
j
0
=
(
−
1
)
k
0
+
i
+
j
0
(
a
1
k
0
a
i
j
0
−
a
1
j
0
a
i
k
0
)
=
{\displaystyle j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-2}a_{ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-1}a_{ij_{0}}=(-1)^{k_{0}+i+j_{0}}(a_{1k_{0}}a_{ij_{0}}-a_{1j_{0}}a_{ik_{0}})=}
=
(
−
1
)
i
+
j
0
+
k
0
+
1
M
j
0
k
0
1
i
{\displaystyle =(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}}
Δ
n
=
∑
j
≠
k
(
−
1
)
i
+
j
+
k
+
1
M
j
k
1
i
M
¯
j
k
1
i
=
Δ
n
~
{\displaystyle {\Delta _{n}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}}
■
Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа ), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):
Δ
=
∑
1
⩽
j
1
<
…
<
j
k
⩽
n
(
−
1
)
i
1
+
.
.
.
+
i
k
+
j
1
+
.
.
.
+
j
k
M
j
1
.
.
.
j
k
i
1
.
.
.
i
k
M
¯
j
1
.
.
.
j
k
i
1
.
.
.
i
k
{\displaystyle \Delta =\sum _{1\leqslant j_{1}<\ldots <j_{k}\leqslant n}(-1)^{i_{1}+...+i_{k}+j_{1}+...+j_{k}}M_{j_{1}...j_{k}}^{i_{1}...i_{k}}{\bar {M}}_{j_{1}...j_{k}}^{i_{1}...i_{k}}}
Определение через перестановки
Для матрицы
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
справедлива форумула:
Δ
=
∑
α
1
,
α
2
,
.
.
.
α
n
(
−
1
)
N
(
α
1
,
α
2
,
.
.
.
α
n
)
⋅
a
α
1
1
⋅
.
.
.
⋅
a
α
n
n
{\displaystyle \Delta =\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}\cdot a_{\alpha _{1}1}\cdot ...\cdot a_{\alpha _{n}n}}
,
где
α
1
,
α
2
,
.
.
.
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n}}
— перестановка порядка
n
{\displaystyle n}
,
N
(
α
1
,
α
2
.
.
.
α
n
)
{\displaystyle N(\alpha _{1},\alpha _{2}...\alpha _{n})}
— число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка
n
{\displaystyle n}
. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют "членами определителя". Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.
Свойства определителей
Детерминант — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам):
Δ
(
A
^
1
,
…
,
α
A
^
i
+
β
A
′
^
i
,
…
,
A
^
n
)
=
α
Δ
(
A
^
1
,
…
,
A
^
i
,
…
,
A
^
n
)
+
β
Δ
(
A
^
1
,
…
,
A
′
^
i
,
…
,
A
n
)
{\displaystyle \Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}_{i}+\beta {\hat {A'}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})=\alpha \Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})+\beta \Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A'}}_{i},\ldots ,A_{n})}
, где
A
^
1
{\displaystyle {\hat {A}}_{1}}
и т. д. — строчки матрицы,
Δ
(
A
1
,
…
,
A
i
,
…
,
A
n
)
{\displaystyle \Delta (A_{1},\ldots ,A_{i},\ldots ,A_{n})}
— определитель такой матрицы.
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.
Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
Специальные виды определителей
См. также
Литература
Ссылки
Шаблон:Link FA