Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — основные уравнения классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения были опубликованы Дж. К. Максвеллом в 1873 году в его книге «Трактат об электричестве и магнетизме».

Уравнения в классическом виде

Уравнения в общем виде

Название	Дифференциальная форма	Интегральная форма	Примерное словесное выражение
Закон индукции Фарадея	$\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =-k_{F}{\partial \mathbf {B} \over \partial t}$	$\oint \limits _{L}\!\mathbf {E} \,d\mathbf {l} =-k_{F}\int \limits _{S}\!{\partial \mathbf {B} \over \partial t}\,d\mathbf {S}$	Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле
Закон Ампера (с добавкой от Максвелла)	$\operatorname {rot} \,\mathbf {H} =4\pi k_{B}\mathbf {j} +{k_{B} \over k_{e}}{\partial \mathbf {D} \over \partial t}$	$\oint \limits _{L}\!\mathbf {H} \,d\mathbf {l} =4\pi k_{B}I_{\mathrm {encl} }+{k_{B} \over k_{e}}\int \limits _{S}\!{\partial \mathbf {D} \over \partial t}\,d\mathbf {S}$	Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Теорема Гаусса	$\operatorname {div} \,\mathbf {D} =4\pi k_{e}\rho$	$\oint \limits _{S}\!\mathbf {D} \,d\mathbf {S} =4\pi k_{e}Q_{\mathrm {encl} }$	Электрический заряд является источником электрической индукции
Теорема Гаусса	$\operatorname {div} \,\mathbf {B} =0$	$\oint \limits _{S}\!\mathbf {B} \,d\mathbf {S} =0$	Магнитная индукция не расходится (не имеет источников). (Неприменима к монополям. До сих пор монополей в природе не обнаружено.)

Приведенные выше уравнения Максвелла не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойства среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины $\mathbf {j}$, $\mathbf {H}$, $\mathbf {D}$, $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$, в которых учитываются индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Введённые обозначения:

• $\rho \$ — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³)
• $\mathbf {j}$ — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²)
• $\mathbf {E}$ — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м)
• $\mathbf {H}$ — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м)
• $\mathbf {D}$ — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²)
• $\mathbf {B}$ — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м²= кг·с^-2·А^-1)
• $Q_{\mathrm {encl} }\$ — сторонний электрический заряд, заключенный внутри поверхности $S\$ (в единицах СИ — Кл)
• $I_{\mathrm {encl} }\$ — электрический ток, проходящий через поверхность $S\$ вызванный движением свободных зарядов (в единицах СИ — А)

• $k_{e},\ k_{B},\ k_{F}$ — коэффициенты, зависящие от системы единиц.

• $\mathrm {rot} \$ — дифференциальный оператор ротора
• $\mathrm {div} \$ — дифференциальный оператор дивергенции
• $S\$ — замкнутая двумерная поверхность
• $L\$ — замкнутый контур

Уравнения в Гауссовой системе единиц

$\operatorname {rot} \,\mathbf {H} ={1 \over {c}}{\partial \mathbf {D} \over \partial t}+{4\pi \over {c}}\mathbf {j}$

$\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =-{1 \over {c}}{\partial \mathbf {B} \over \partial t}$

$\operatorname {div} \,\mathbf {D} =4\pi \rho$

$\operatorname {div} \,\mathbf {B} =0$

Уравнения в СИ

$\operatorname {rot} \,\mathbf {H} ={\partial \mathbf {D} \over \partial t}+\mathbf {j}$

$\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} \over \partial t}$

$\operatorname {div} \,\mathbf {D} =\rho$

$\operatorname {div} \,\mathbf {B} =0$

Материальные уравнения

Чтобы дополнить уравнения Максвелла до полной системы уравнений электродинамики, необходимо получить материальные уравнения, которые связывают величины $\mathbf {j}$, $\mathbf {H}$, $\mathbf {D}$, $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$ и в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электропроводности среды. В основе таких теорий лежат в той или иной степени идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами $\mathbf {j}$, $\mathbf {H}$, $\mathbf {D}$ с одной стороны и $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$ с другой стороны. В случае слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, а также для изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения записываются в виде:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$

$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$

$\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E}$

где $\varepsilon \$ — диэлектрическая проницаемость (в единицах СИ — Ф/м), $\mu \$ — магнитная проницаемость (в единицах СИ — Гн/м) и $\sigma \$ — электропроводность среды (в единицах СИ — 1/(Ом·м)).

В вакууме, без зарядов и токов

Вакуум — это линейная, однородная, изотропная, бездисперсионная среда; и магнитная, и электрическая постоянные обозначаются через $\varepsilon _{0}\$ и $\mu _{0}\$ (не учитывая очень малых квантовых эффектов).

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$

$\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$

Уравнения Максвелла для вакуума без электрических зарядов и токов такие:

$\mathrm {div} \,\mathbf {E} =0$

$\mathrm {div} \,\mathbf {H} =0$

$\mathrm {rot} \,\mathbf {E} =-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}$

$\mathrm {rot} \,\mathbf {H} =\ \ \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Эта система дифференциальных уравнений имеет простое решение — гармоническая, плоская волна. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу, и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью:

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}.$

Максвелл обозначил эту величину $c$. Это просто скорость света в вакууме, а свет — это вид электромагнитного излучения. Общепринятые значения скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в следующей таблице:

Символ	Имя	Численное значение	Единицы измерения СИ	Размерность
$c\$	Постоянная скорости света	$2{,}99792458\times 10^{8}$	м/с	LT−1
$\ \varepsilon _{0}$	Электрическая постоянная	$8{,}85418782\times 10^{-12}$	Ф / м	L−3M−1T4I²
$\ \mu _{0}\$	Магнитная постоянная	$1{,}25663706\times 10^{-6}$	Гн / м	LMT−2I−2

Поле точечного заряда в вакууме

Поле точечного заряда в вакууме это фундаментальный «общий случай» классической электродинамики. В этом случае уравнения Максвелла (в СИ) выглядят так:

$\mathrm {div} \,\mathbf {E} =4\pi kq\delta ;$

$\mathrm {div} \,\mathbf {H} =0;$

$\mathrm {rot} \,\mathbf {E} =-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}};$

$\mathrm {rot} \,\mathbf {H} =\varepsilon _{0}\left({\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+4\pi kq\delta \mathbf {v} \right),$

где

$q,\;\mathbf {v}$ — заряд и скорость точечного источника,

$\delta =-\Delta (1/r)/4\pi$ — функция Дирака, сосредоточенная в точке нахождения источника

$\Delta$ — лапласиан;

$k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$.

Вкупе с законом Лоренца

$m\mathbf {a} =q(\mathbf {E} +\mathbf {V} \times \mathbf {B} ),$

где $m,\;q,\;\mathbf {v} ,\;\mathbf {a}$ — масса, заряд, скорость и ускорение заряда, на который действует поле;

эти уравнения образуют замкнутую систему, описывающую совместное поведение заряженных точечных частиц в вакууме.

Эта система релятивистски неинвариантна. Однако она легко релятивизируется предположением о своей истинности в системе координат, «привязанной» к источнику поля. Таким образом, возникает релятивистская электродинамика (заметим, что в «привязанной» СК магнитное поле отсутствует и, таким образом, фактически релятивистская электродинамика опирается только на закон Кулона, а уравнения Максвелла получают статус его «математических следствий»).

Релятивистская инвариантность

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности. В ковариантной форме уравнения приобретают вид (в системе единиц СГС):

$\partial _{i}F^{ik}={\frac {4\pi }{c}}J^{k}\,$

$\partial _{i}F_{kl}+\partial _{k}F_{li}+\partial _{l}F_{ik}=0\,$,

где $J^{k}=(c\rho ,\;\mathbf {j} )$ — 4-ток, а $\ F^{ik}$ — антисимметричный тензор электромагнитного поля:

$F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)$

Литература

• Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983.
• Тоннела М.-А. Основы электромагнетизма и теории относительности. Пер. с фр. М.: Иностранная литература, 1962. 488 с.
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля
• Фущич В. И., Никитин А. Г., Симметрия уравнений Максвелла. Киев: Наук. думка, 1983. 200 с.

См. также

• Фундаментальные физические постоянные
• Уравнения Джефименко