Дельта-функция

$\delta$-функция (или дельта-функция, $\delta$-функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке $a$ евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$, записывается с помощью $\delta$-функции в виде $\delta (x-a)$. Также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

$\delta$-функция есть обобщённая функция, это означает, что формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

$\delta$-функция не является функцией в классическом смысле, тем не менее нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящуюся к $\delta$-функции.

Введена английским физиком Дираком.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная.

Определение

$\delta$-функция с областью определения $\mathbb {R} ^{n}$ определяется формальным соотношением

$(\delta ;f)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})f({\vec {x}})\,d^{n}x=f({\vec {a}})$

для любой непрерывной функции $f({\vec {x}})$.

В частности, для одномерной дельта-функции (то есть дельта-функции с областью определения ${\mathbb {R} }$)

$(\delta ;f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (x-a)f(x)\,dx=f(a)$.

Альтернативное определение

Для дельта-функции одной вещественной переменной верны следующие равенства:

• $\delta (x-{{x}_{0}})=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,&x={{x}_{0}}\\0,&x\neq {{x}_{0}}\\\end{matrix}}\right.$;
• $\ \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\delta }(x-{{x}_{0}})\,dx=1$.
• аналогичные свойства верны и для дельта-функций, определённых на $\mathbb {R} ^{n}$

Формально эти равенства не являются определением дельта-функции, однако во многих учебниках по физике она определяется именно так, и этого достаточно для решения физических задач.

Свойства

• Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему в себе ноль, то есть интервалу вида $(-a_{1},a_{2})$, где $a_{1}$ и $a_{2}$ — произвольные действительные положительные числа, равен 1, и равен 0.5, если либо $a_{1}$ либо $a_{2}$ равно нолю.
• $x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x)$
• $\delta (f(x))=\sum _{k}{\frac {\delta (x-x_{k})}{|f'(x_{k})|}}$, где $x_{k}$ — нули функции $f(x)$.

• Первообразной одномерной дельта-функции является функция Хевисайда:

$\eta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\\\end{array}}\right.$;

• Фильтрующее свойство дельта-функции:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-x_{0})dx=f(x_{0})$

δ-функция как слабый предел

Пусть $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1.$

Тогда последовательность

$~f_{n}(x)=nf(nx),$

в некотором смысле сходится (слабо сходится) к $\delta$-функции.

Файл:Sin x div x function graph.png

График функции $\scriptstyle {\sin x/x}$

Часто, в качестве $~f(x)$ выбирают

$f(x)={\sin x \over \pi x},$

дающую последовательность

$f_{n}(x)={n}{\sin(nx) \over n{\pi }x}.$

Если нужно, чтобы члены последовательности были всюду положительными функциями, можно исходить из Гауссова колокола :

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}},$

$f_{n}(x)={\frac {n}{\sqrt {\pi }}}e^{-(nx)^{2}}.$

Интегральное представление

Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

$\delta (t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\,d\omega .$

Доказательство

Рассмотрим интеграл

$I(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\,d\omega ,$    (1)

который можно интерпретировать как предел

$I(t)=\lim _{N\to \infty }I_{N}(t),$

где

$I_{N}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-N}^{N}e^{i\omega t}\,d\omega ={\frac {1}{\pi }}N{\frac {\sin {tN}}{tN}}.$    (2)

Файл:Sin x div x function graph.png

График функции $sin(x)/x$

Известно, что

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin {t}}{t}}\,dt=\pi .$    (3)

В силу (3) для любого $N$ справедливо равенство:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }I(t)\,dt={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin {tN}}{tN}}\,d(tN)=1.$    (4)

Можно показать (см. выше), что при неограниченном росте $N$ для функции (2) оказываются верными все свойства дельта-функции и она в некотором смысле стремится к $~\delta (t)$.

Производная дельта-функции

Фундаментальное выражение, описывающее производную дельта-функции $\delta (x)$:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{\prime }(x-a)\,dx=-f^{\prime }(a);$

(распространение на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию, интегрирования по частям).

Аналогично для $n$-ой производной дельта-функции:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{[n]}(x-a)\,dx=-\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}\delta ^{[n-1]}(x-a)\,dx.$

А проинтегрировав так по частям $n$ раз, получим в конце концов:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{[n]}(x-a)\,dx=\left.(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}f(x)}{\partial x^{n}}}\right|_{x=a}.$

Подставив же в первую формулу $f(x)=xg(x)$ и $a=0$, убедимся, что

$x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x).$

Для производной дельта-функции также верны следующие тождества:

$\delta ^{\prime }(-x)=-\delta ^{\prime }(x);$

$\int \limits _{-1}^{1}\delta \left({\frac {1}{x}}\right)\,dx=0.$

Преобразование Фурье

• В этом параграфе мы будем применять нормировку, соответствующую соглашению о единичном коэффициенте в обратном преобразовании, то есть имея в виду $f(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega$.

• Формулы этого параграфа имеют соответствующие аналоги для многомерного преобразования Фурье.

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

$F\left\{\delta (\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{2\pi }}e^{-i\omega \cdot 0}={\frac {1}{2\pi }}$,

в результате получается, что спектр (фурье-образ) $\delta$-функции является просто константой:

$~F\left\{\delta (\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}$.

То есть, как и было показано выше,

$\delta (t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\,d\omega$.

Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат

В $n$-мерном пространстве в декартовых координатах (ортонормированном базисе):

$\int \delta ^{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,d^{n}x=1$;

$\delta ^{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\ldots \delta (x_{n})$.

В двумерном пространстве:

$\iint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{2}(x,y)\,dxdy=1$;

$\delta (ax,by)={\frac {1}{\left|ab\right|}}\delta ^{2}(x,y)$;

$\delta ^{2}(x,y)=\delta (x)\delta (y)$.

В полярных координатах:

$\delta ^{2}(r,\varphi )={\frac {\delta (r)}{\pi \left|r\right|}}$ — несмещенная относительно начала координат (с особенностью при $r=0$),

${\frac {\delta (r-r_{0})\delta (\varphi -\varphi _{0})}{|r|}}$ — с особенностью в точке общего положения $(r_{0},\varphi _{0})$; при $r=0$ доопределяется нулем.

В трехмерном пространстве:

$\iiint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{3}(x,y,z)\,dxdydz=1$;

$\delta ^{3}(x,y,z)=\delta (x)\delta (y)\delta (z)$;

В цилиндрической системе координат:

$\delta ^{3}(r,\theta ,z)={\frac {\delta (r)\delta (z)}{\pi r}}$ — несмещенная относительно начала координат (с особенностью при $r=0,z=0$),

${\frac {\delta (r-r_{0})\delta (\varphi -\varphi _{0})\delta (z-z_{0})}{|r|}}$ — с особенностью в точке общего положения $(r_{0},\varphi _{0},z_{0})$; при $r=0$ доопределяется нулем.

В сферической системе координат:

$\delta ^{3}(r,\theta ,\varphi )={\frac {\delta (r)}{2\pi r^{2}}}$ — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при $r=0$).

Физическая интерпретация

Вблизи заряжённой точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример.

Мгновенное ускорение

Пусть частица, движущаяся вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом, как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как

$a(t)=\nu \delta (t-t_{a}).\$

Масса материальной точки

Если нужно найти суммарную массу (или заряд) некоторого непрерывного распределения плотности (или плотности заряда) $m=\int \rho _{contin}$, содержащего кроме того точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, учитывающей отдельно дискретные массы и непрерывную конечную плотность:

$m=\int \rho _{contin}(\mathbf {x} )\,dV+\sum _{i}q_{i}$

записывать просто:

$m=\int \rho (\mathbf {x} )\,dV$

имея в виду, что $\rho (\mathbf {x} )$ имеет как непрерывную, так и дельтообразные (по одной для каждой точечной массы) составляющие:

$\rho (\mathbf {x} )=\rho _{contin}(\mathbf {x} )+\sum _{i}q_{i}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}).$

Другие примеры

• Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе ($\hbar \rightarrow 0$) квантовой механики волновые функции локализуются в волновые пакеты с дельтаобразными (то есть имеющими в пределе форму дельта-функции) огибающими, и области их локализации движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.

• Преобразование Фурье синуса является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний. В квантовой механике преобразования Фурье волновых функций играют первостепенную принципиальную и техническую роль, именно для неё Дирак впервые ввёл дельта-функцию.

• Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представленииях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора.

• Важным применением дельта-функции является их участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора $L$, действующего на обобщённые функции над многообразием $M$, уравнение, определяющее функцию Грина $g$ с источником в точке $x_{0}$, имеет вид

$L\ g(x,x_{0})=\delta (x-x_{0})\$.

Особенно часто встречается применение этого аппарата к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, механическая теория упругости) и подобным ему операторам, таким как оператор Даламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля, где функция Грина часто носит специальное название пропагатора).

• Для лапласиана в ${\mathbb {R}}^{3}$ функцией Грина является функция $1/r$, так что

$\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta (r),$

где $r$ — расстояние до начала координат. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала:

$\Phi (\mathbf {x} )=-\int {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime }) \over \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}\,d^{3}x^{\prime }$

удовлетворяет уравнению Пуассона:

$\nabla ^{2}\Phi =4\pi \varrho$

Литература

• Дирак П. А. М. Основы квантовой механики, пер. с англ., — М., 1932 (есть много переизданий).

Ссылки

• Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа, том 2, — ISBN 5-9221-0185-4
• Weisstein, Eric W. Delta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

См. также

• Обобщенная функция
• Функция Грина