Атлас (топология)

Карта и атлас — понятия дифференциальной геометрии, позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру.

Определения

Пусть $K$ — числовое поле (например $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$), $X$ — топологическое пространство.

• Карта — это пара $(U,f)$, где

$U$ — открытое множество в $X$

$f$ — гомеоморфизм из $U$ в открытое множество в $K^{n}$

• Две карты $(U_{1},f_{1})$ и $(U_{2},f_{2})$ называются согласованными, если сужения отображений $f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}$ и $f_{2}\circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}$ являются гладкими или аналитическими (в зависимости от контекста).

• Атлас — это множество согласованных карт $\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}$, $\alpha \in {\mathcal {A}}$, такое, что $\{U_{\alpha }\}$ образует покрытие пространства $X$.

Связанные определения

• Два атласа называются согласованными, если их объединение также является атласом.