Теорема о бесконечных обезьянах

Абсолютно случайным образом ударяя по клавишам печатной машинки, гипотетическая обезьяна рано или поздно напечатает одну из пьес Шекспира.

Теоре́ма о бесконе́чных обезья́нах (в одном из множества вариантов) утверждает, что абстрактная обезьяна, ударяя случайным образом по клавишам печатной машинки в течение бесконечно длинного промежутка времени, наберет текст, подобный по сложности любой пьесе Шекспира, причем сделает это бесконечное число раз.

Под словосочетанием «рано или поздно» с точки зрения теории вероятностей следует понимать стопроцентную вероятность наступления данного события, под «обезьяной» подразумевается абстрактное устройство, порождающее случайную последовательность элементов используемого алфавита вплоть до бесконечности. Теорема раскрывает неточность в представлении бесконечности в качестве большого, но ограниченного числа, и наоборот. Вероятность того, что обезьяна случайным образом напечатает такую сложную работу как драму Шекспира Гамлет настолько мала, что это вряд ли произошло бы в течение срока, прошедшего с момента зарождения Вселенной. Однако в течение бесконечно длинного промежутка времени это событие непременно произойдет (при условии, что обезьяна не умрёт от старости или голода, а печатная машинка не сломается).

Если перенести данные рассуждения в обозримый масштаб, то теорема будет утверждать, что если в течение продолжительного времени случайным образом стучать по клавиатуре, то среди набираемого текста будут возникать осмысленные слова, словосочетания и даже предложения. В некоторых формулировках теоремы одна обезьяна заменяется несколькими или даже бесконечным их числом, а текст варьируется от содержания целой библиотеки до отдельного предложения. Предыстория теоремы берет свое начало с трудов Аристотеля («О возникновении и уничтожении») и Цицерона («О природе богов»), связанные с ней идеи встречаются в работах Блеза Паскаля и произведениях Джонатана Свифта, а также некоторых наших современников. В начале XX в. Эмиль Борель и Артур Эддингтон использовали теорему для указания временных масштабов, в которых начинают действовать законы статистической механики. Многие христианские апологеты с одной стороны и Ричард Докинз с другой спорят о том, какое влияние оказывает теорема о бесконечных обезьянах на идею эволюции.

Теорема, строго говоря, тривиальна и не имеет особого научного значения, её популярность в массах объясняется видимой парадоксальностью. Интерес к теореме кроме этого поддержан рядом ее появлений в литературе, телевидении, радио, музыке и интернете. В 2003 г. эксперимент по проверке теоремы в полушутливой форме был проведен в реальности, в нем участвовало шесть макак. Однако, их литературный вклад составил лишь пять страниц текста, содержащего по большей части букву S.

Обоснование

Теоретическое пояснение

Согласно теореме об умножении вероятностей, если два события статистически независимы, то есть результат одного события не влияет на результат другого, то вероятность наступления обоих событий вместе равняется произведению вероятностей этих событий. Например, если вероятность выпадения определённого числа в кости равняется 1/6, а шанс выигрыша в рулетке с двойным зеро 1/38, то вероятность выигрыша в двух играх сразу равна: 1/6 · 1/38 = 1/228.

Теперь предположим, что пишущая машинка имеет 50 клавиш, а слово, которое должно быть напечатано — «банан». Если ударять по клавишам случайным образом, вероятность того, что первым напечатанным символом будет буква «б», равна 1/50; такова же вероятность того, что вторым напечатанным символом будет «а», и так далее. Эти события независимы; таким образом, вероятность того, что первые пять букв составят слово «банан», равна (1/50)⁵. По той же причине вероятность того, что следующие 5 букв снова окажутся словом «банан», также равняется (1/50)⁵, и так далее.

Несложно вычислить вероятность того, что блок из 5 случайным образом напечатанных букв не окажется словом «банан». Она равна 1 − (1/50)⁵. Поскольку каждый блок печатается независимо, вероятность того, что ни один из первых n блоков по 5 букв не совпадает со словом «банан», равна:

$P=\left(1-{\frac {1}{50^{5}}}\right)^{n}$.

При увеличении n, как видно из формулы, P уменьшается.

Число блоков текста n	Вероятность ненаписания слова «банан» P
1 000 000	99,99%
100 000 000	73%
1 000 000 000	4%
$\rightarrow \infty$	$\rightarrow 0$

Подобная формула применяется для любой другой строки символов конечной длины. Это показывает, почему среди бесконечно большого количества обезьян найдется такая, которая точно воспроизведет текст любой сложности (например, «Гамлета»). В рассмотренном примере в случае, если в эксперименте участвует миллиард обезьян, вероятность того, что ни одна из них случайным образом нажав на пять клавиш печатной машинки не наберет слово «банан» равна 4 %. В том случае, когда количество обезьян n стремится к бесконечности, значение P (вероятность того, что ни одна из n обезьян не смогла воспроизвести данный текст) стремится к нулю. Если заменить слово «банан» на текст «Гамлета», показатель степени увеличится с 5 до числа символов в этом тексте, но суть от этого не изменится.

Из приведенного доказательства и получаются исходные различные формулировки теоремы: «вероятность того, что бесконечное количество обезьян напечатают любой данный текст с первой попытки, равна 1» или «работающая бесконечно долго обезьяна-машинистка рано или поздно напечатает любой наперед заданный текст конечной длины (например, текст этой статьи)». При доказательстве не было учтено, что слово «банан» может быть напечатано и между блоками случайно набранного текста, но, как легко видеть, это не сказывается на его корректности, поскольку здесь мы имеем дело с бесконечно большими величинами. Из-за этого же можно утверждать, кроме всего прочего, что за бесконечно большой промежуток времени абстрактная обезьяна не просто напечатает полное собрание сочинений Шекспира, но и сделает это бесконечное число раз.

Реальная вероятность

Игнорируя знаки препинания, пробелы и различия между заглавными и строчными буквами, у обезьян, случайным образом ударяющим по клавишам английской печатной машинки и пытающимся набрать оригинальный текст Гамлета, имеется в распоряжении 26 английских букв. Вероятность набрать верно первые две буквы текста равна 1/676 = 1/26·1/26. Поскольку вероятность падает экспоненциально, шанс верно набрать первые 20 букв текста выпадет один раз из 26²⁰ = 19.928.148.895.209.409.152.340.197.376 (около 2·10²⁸). Вероятность же случайного набора всего теста знаменитого произведения с первого раза, за неимением более подходящего определения, астрономически мала. Текст Гамлета содержит приблизительно 130.000 букв. Соответственно, она равна 1/3,4·10^183.946.

Подсчитано, что даже в том случае, если вся обозримая часть Вселенной была бы заполнена обезьянами, печатающими на протяжении всего времени ее существования, вероятность набора ими одного-единственного экземпляра книги составляет тем не менее лишь величину 1/10^183.800. По словам Киттела и Кремера «эта вероятность в любом практическом смысле равно нулю». Однако, утверждение теоремы о том, что такое событие возможно в случае бесконечного числа обезьян, «дает иллюзию, что оно произойдет, если за печатные машинки посадить очень-очень много обезьян». Эта фраза из книги авторов о термодинамике, статистические основы которой впервые привлекли внимание широкого круга людей к содержанию данной теоремы.

Тем не менее существует мнение, что подобная ситуация уже могла реализовалась в природе, причем бесконечное число раз. Рассматривая абстрактную ситуацию, которая могла бы реализоваться в ньютоновской модели бесконечной Вселенной, где бесконечность отождествляется с безграничностью, а время рассматривается как бесконечно протяженное, авторы утверждают, что в таком неограниченном объеме возникает возможность для реализации абсолютно всего, что только может быть реализовано, может произойти любое событие, и не один раз, а бесконечное число раз:

Другие формы жизни могли бы дублировать нашу, как и любые другие, снова и снова во всевозможных вариантах, причем каждая отдельная возможность повторялась бы бессчетное число раз. Существовали бы всевозможные версии того, что вы сейчас читаете, на всех человеческих (и не человеческих) языках, и каждая возможность реализовалась бы не в одном месте или нескольких местах, а в бесконечном числе мест.

История

Статистическая механика

Одна из форм, в которой теория вероятностей сейчас знает эту теорему, появилась в статье Эмиля Бореля «Статистическая механика и необратимость» и в его книге «Случай» в 1914 г. Его «обезьяны» рассматривались как абстрактные генераторы случайных последовательностей букв. Борель указывал на то, что даже если миллион обезьян будут печатать по десять часов в день, крайне маловероятно, что они напечатают текст полностью совпадающий по содержанию со всеми книгами всех библиотек мира. И все же, вероятность наступления этого события больше, чем вероятность того, что законы статистической механики нарушатся даже незначительно.

Физик Артур Эддингтон проиллюстрировал эту идею более наглядно. В книге «Природа физического мира» (1928) он писал:

Если я позволю своим пальцам праздно блуждать по клавишам пишущей машинки, может случиться, что у меня получится напечатать какое-нибудь осмысленное предложение. Если армия обезьян будет бить по клавишам пишущих машинок, они могут напечатать все книги Британского музея. Шанс, что они сделают это, определённо больше, чем вероятность того, что все молекулы соберутся в одной половине сосуда.

Эти иллюстрации приглашают читателя осознать, насколько ничтожна вероятность того, что много, но не бесконечно много обезьян за большой, но не бесконечный промежуток времени напечатают какую-нибудь стоящую работу и сравнить это с еще меньшей вероятностью некоторых физических событий. Любой физический процесс, который ещё менее вероятен, чем успех этих обезьян, может, в сущности, считаться невозможным..

Ненаучное происхождение

В своем эссе «Всеобщая библиотека» аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес проследил историю теоремы о бесконечных обезьянах со времен Аристотеля и его знаменитой «Метафизики». Объясняя взгляд Левкиппа, который считал, что окружающий мир − суть случайная комбинация атомов, Аристотель подчеркивает, что атомы сами по себе гомогенны, а их возможные измерения разнятся только по форме, положению и состоянию. В своем сочинении «О создании и уничтожении» в подтверждение сказанного греческий философ сравнивает трагедию и комедию, состоящие по сути из одних и тех же атомов − букв алфавита. Спустя три столетия Цицерон критикует атомизм в своей работе «О природе богов»:

Не понимаю, почему бы человеку, который считает, что так могло произойти, не поверить также, что если изготовить из золота или из какого-нибудь другого материала в огромном количестве все двадцать одну буквы, а затем бросить эти буквы на землю, то из них сразу получатся «Анналы» Энния, так что их можно будет тут же и прочитать. Вряд ли по случайности может таким образом получиться даже одна строка.

В своем эссе Борхес приводит аргументы Блеза Паскаля и Джонатана Свифта. По его словам к 1939 г. содержание теоремы оформилось в виде следующей идиомы: «Полдюжины обезьян с печатными машинками за небольшое количество вечностей напечатают все книги Британского музея.» Борхес от себя добавил, что, «строго говоря, одной бессмертной обезьяны было бы достаточно». Свою концепцию автор перенес в один из коротких рассказов «Вавилонская библиотека», весьма популярный в свое время среди читателей. В нем он описал невообразимо объемную библиотеку, состоящую из шестиугольных залов, в которых хранятся книги со всевозможными случайными сочетаниями букв алфавита и некоторых знаков препинания:

... библиотека всеобъемлюща. На ее полках можно найти все: подробнейшую историю будущего, автобиографии архангелов, верный каталог Библиотеки, тысячи и тысячи фальшивых каталогов, доказательство фальшивости верного каталога, гностическое Евангелие Василида, комментарий к этому Евангелию, комментарий к комментарию этого Евангелия, правдивый рассказ о твоей собственной смерти, перевод каждой книги на все языки... Тысячи жаждущих покинули родные шестигранники и устремились вверх по лестницам, гонимые напрасным желанием найти свое оправдание... Действительно, Оправдания существуют (мне довелось увидеть два, относившихся к людям будущего, возможно не вымышленным), но те, кто пустился на поиски, забыли, что для человека вероятность найти свое Оправдание или какой-то его искаженный вариант равна нулю.

В массовой культуре

Теорема о бесконечных обезьянах и ее клоны, считающиеся популярной иллюстрацией математической вероятности, широко известны большинству людей из-за их частого упоминания в популярной культуре, нежели из уроков математики. Эта теорема, к примеру, в несколько отличной формулировке упомянута и используется в качестве щуки в романе «Автостопом по галактике» английского писателя Дугласа Адамса.

В фильме Трасса 60 есть фраза:

Есть теория, что Вселенная и время бесконечны, значит, случиться может все что угодно, то есть любое событие неизбежно, иначе его бы не случилось!

Теорема впервые была популяризована астрономом Артуром Стэнли Эддингтоном. Она стала частью идиоматических выражений благодаря научно-фантастическому рассказу «Несгибаемая логика» (Inflexible Logic) Рассела Мэлони (Russell Maloney), где обезьяны вопреки всем законам теории вероятности безошибочно печатали одну книгу за другой. Также она упоминалась в «Автостопом по галактике» Дугласа Адамса:

— Форд! — выговорил он, — там, снаружи, бесконечно много обезьян.
И они хотят обсудить с нами «Гамлета», который у них получился.

— Дуглас Адамс, «Автостопом по галактике»

См. также

• Вавилонская библиотека
• Теория вероятностей
• Бесконечность
• Эволюция