Метод неопределённых коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применения

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

Разложение дроби на простейшие

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на элементарные дроби.

Пусть $p(z)$ и $q(z)$ — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена $p(z)$ меньше степени многочлена $q(z)$, коэффициент при старшем члене многочлена $q(z)$ равен 1, $z_{i}$ $i\in \{1,..,k\}$ ― корни многочлена $q(z)$ с кратностями $\alpha _{i}$, следовательно,

$q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k})^{\alpha _{k}}$

Функция $p/q$ представима, и притом единственным образом, в виде суммы элементарных дробей

${\frac {p(z)}{q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{\frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},$

где $A_{i,j}$ ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно степени $q$). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно $A_{i,j}$.

Примечание. Нахождение неизвестных можно упростить, если $q(z)$ имеет некратные корни $z_{j}$. После умножения на $z-z_{j}$ последнего равенства и подстановки $z=z_{j}$ непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента $A_{j}={\frac {p(z_{j})}{\prod \limits _{i\neq j}(z_{j}-z_{i})^{\alpha _{i}}}}$.

Обращение ряда

Если функция $f(x)$, не равная нулю при $x=0$ разложена в ряд Маклорена:

$f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,$

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

$1/f(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots ,$

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

$g(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots ,$

При этом используется соотношение $g(f(x))=x$, то есть весь ряд для $f(x)$ подставляется вместо $x$ в ряд для $g(x)$.

Сумма степеней

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: $\sum _{i=0}^{n}i^{k}$. Будем искать ответ в виде многочлена $k+1$-ой степени от $n$. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем $\sum _{i=0}^{n}i^{3}$ в виде $p(n)=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$.

По определению $p(n)-p(n-1)=n^{3}$, а также $p(1)=1$. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

${\begin{cases}4a-1=0\\-6a+3b=0\\4a-3b+2c=0\\-a+b-c+d=0\\a+b+c+d+e=1\end{cases}},$

откуда получаем ответ: $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения $\Delta p(n)=n^{3}$, здесь же ищется решение уравнения $a_{n}f^{(n)}(x)+\ldots +a_{2}f''(x)+a_{1}f'(x)+a_{0}f(x)=g(x)$.

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.

Ссылки

• Интересные примеры: разложение дроби