Уравнение Фоккера — Планка

Уравнение Фоккера Планка названо в честь Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц, и может быть обобщено на другие измеримые параметры (размер (в теории коалесценции), масса и т.д).

Впервые уравнение было использовано для статистического описания Броуновского движения частиц в воде.

Броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены для разных сил стохастической природы с усреднением по каноническому ансамблю численным методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики.

Однако, вместо сложных вычислений можно использовать уравнения Фоккера-Планка и и рассмотреть функцию плотности вероятности $W(\mathbf {v} ,t)$, для частицы иметь скорость в интервале $(\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )$, когда она имеет начальную скорость $\mathbf {v} _{0}$ в момент времени 0.

Общая форма уравнения Фоккера-Планка для N переменных:

${\frac {\partial W}{\partial t}}=\left[-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})\right]W,$

где $D^{1}$ вектор сноса и $D^{2}$ тензор диффузии , причем диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями

Уравнение Фоккера-Планка может быть использовано для расчета плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее Itō стохастическое дифференциальное уравнение

$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)d\mathbf {B} _{t},$

где $\mathbf {X} _{t}\in \mathbb {R} ^{N}$ функция состояния системы и $\mathbf {B} _{t}\in \mathbb {R} ^{M}$ - стандартное N-мерное Броуновское движение. Если начальное распределение задано как $\mathbf {X} _{0}\sim W(\mathbf {x} ,0)$, то плотность вероятности $W(\mathbf {x} ,t)$ состояния системы $\mathbf {X} _{t}$ дается уравнением Фоккера-Планка со следуюшими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

$D_{i}^{1}(\mathbf {x} ,t)=\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)$

$D_{ij}^{2}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).$

Примеры

Стандартное скалярное уравнение Броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением

$dX_{t}=dB_{t}.$

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствуюшее уравнение Фоккера-Планка вышлядит так:

${\frac {\partial W(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}W(x,t)}{\partial x^{2}}},$

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Внешние ссылки

• Fokker–Planck equation on the Earliest known uses of some of the words of mathematics

Источники

en:Fokker-Planck equation

• Hannes Risken, "The Fokker-Planck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 354061530X.

• Crispin W. Gardinder, "Handbook of Stochastic Methods", 3rd edition (paperback), Springer, ISBN 3540208828.