Формула Герона

Фо́рмула Геро́на позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

где р — полупериметр треугольника: $p={\frac {a+b+c}{2}}$.

Доказательство

$S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }$,

где $\ \gamma$ — угол треугольника, противолежащий стороне $c$. По теореме косинусов:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,$

Отсюда:

$\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},$

Значит,

$\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$

$={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=$

$={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Замечая, что $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, получаем:

$\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.$

Таким образом,

$S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

ч.т.д.

История

Формула для вычисления площади треугольника по трём его сторонам была открыта Архимедом (III в. до н. э.). Однако соответствующая работа Архимеда до наших дней не дошла.

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I в. н.э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Доказательство:

Пусть O - центр вписанной в треугольник ABC окружности, r - ее радиус . Соединив центр O с вершинами A, B и C, получим треугольники AOC, BOC и AOB с высотами, равными r. Согласно свойству площадей: пл. треугольника ABC=пл. треугольника AOC+пл. треугольника AOB+пл. треугольника BOC= = 1/2 b . r+1/2 c . r+1/2 a . r=r/2 (a+b+c)=p . r.

Выражая r через стороны треугольника a, b и с, получаем

Тогда , что и требовалось доказать.

Вариации и обобщения

• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

  $S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},$

где $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю.)

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники).
• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:

  $16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}$

Она является частным случаем определителя Кэли — Менгера для вычисления гиперобъёма симплекса.