Симметричная матрица

Симметричной называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $A$, что $\forall i,j:a_{ij}=a_{ji}$.

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

$A=A^{T}$

Примеры

${\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}$

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с действительными элементами справедливо следующее:

• она имеет действительные собственные значения
• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

$Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0$

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормальный базис
• матрицу A можно привести к диагональному виду: $A=QDQ^{T}$, где $Q$ — ортогональная матрица, столбцы которой содержат базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.