Магнетон Бора

Магнето́н Бо́ра — единица элементарного магнитного момента.

Данная величина названа в честь Нильса Бора.

Магнетон Бора определяется как

$\mu _{B}={\frac {e\hbar }{2cm_{\mathrm {e} }}}$

(в системе СИ). Здесь ħ — постоянная Планка, е — элементарный электрический заряд и m_e — масса электрона.

Величина магнетона Бора составляет, в зависимости от выбранной системы единиц:

• μ_B = 927,400915(26)×10⁻²⁶ Дж/Тл;
• μ_B = 927,400915(26)×10⁻²³ эрг/Гс;
• μ_B = 5,7883817555(79)×10⁻⁵ эВ/Тл;
• μ_B = 5,7883817555(79) эВ/Гс.

Часто используют также величины

• μ_B/h = 13,99624604(35)×10⁹ Гц/Тл,
• μ_B/hc = 46,6864515(12) м⁻¹Тл⁻¹,
• μ_B/k = 0,6717131(12) K/Тл.

Физический смысл величины μ_B легко понять из полуклассического рассмотрения движения электрона по круговой орбите радиуса r со скоростью v. Такая система аналогична витку с током, сила I которого равна заряду, делённому на период вращения: I = ev /2πr. Согласно классической электродинамике, магнитный момент витка с током, охватывающего площадь S, равен в СГС

$\mu ={IS \over c}={evr \over 2c}={eM_{l} \over 2mc},$

где M_l = mvr — орбитальный момент количества движения электрона. Если учесть, что по квантовым законам орбитальный момент M_l электрона может принимать лишь дискретные значения, кратные постоянной Планка, M_l = ħl, где l — орбитальное квантовое число, принимающее значения 0, 1, 2, …, n−1, то получится следующее выражение:

$\mu _{l}={e\hbar l \over 2mc}=\mu _{B}\cdot l.\qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

Таким образом, магнитный момент электрона кратен магнетону Бора. Следовательно, в данном случае μ_B играет роль элементарного магнитного момента — «кванта» магнитного момента электрона.

Помимо орбитального момента количества движения M_l, обусловленного вращением, электрон обладает собственным механическим моментом — спином, равным s = 1/2 (в единицах ħ). Спиновый магнитный момент μ_s = 2μ_Bs, то есть в 2 раза больше величины, которую следовало ожидать на основании формулы (1), но так как s = 1/2, то μ_s = μ_B. Этот факт непосредственно вытекает из релятивистской квантовой теории электрона, в основе которой лежит уравнение Дирака.

Дипольный магнитный момент электрона

Система СГС

Магнитный заряд в системе СГС определяется следующим образом:

$g_{m}={\frac {e\hbar }{2c}}$.

Выделим магнитный заряд в выражении магнетона Бора:

$\mu _{B}={\frac {e\hbar }{2cm_{\mathrm {e} }}}={\frac {e^{2}}{m_{e}c^{2}}}\cdot g_{m}=r_{0}\cdot g_{m}\$

где $r_{0}={\frac {e^{2}}{m_{e}c^{2}}}={\frac {\alpha _{E}\lambda _{0}}{2\pi }}$ классический радиус электрона, а $\alpha _{E}={\frac {e^{2}}{c\hbar }}$ электрическая постоянная тонкой структуры и $\lambda _{0}={\frac {h}{m_{e}c}}$ комптоновская длина волны электрона.

Таким образом, в системе СГС размерность магнетона Бора совпадает с размерностью магнитного момента диполя:

$p_{B}=r_{0}\cdot g_{m}=\mu _{B}\$.

Система СИ

В системе СИ ситуация несколько иная. Действительно, магнетон Бора здесь орпределяется как:

$\mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m_{e}}}\$,

а магнитный заряд:

$g_{m}={\frac {h}{e}}\$.

Здесь также можно выделить магнитный заряд из выражения для магнетона Бора:

$\mu _{B}={\frac {e^{2}}{4\pi m_{e}}}\cdot g_{m}={\frac {r_{0}}{\mu _{E}}}\cdot g_{m}\$,

где $r_{0}={\frac {\alpha _{E}\lambda _{0}}{2\pi }}$ классический радиус электрона, а $\mu _{E}$ магнитная постоянная.

Таким образом, размерность физической величины магнетона Бора в системе СИ отличается от размерности магнитного дипольного момента электрона:

$p_{B}=r_{0}\cdot g_{m}=\mu _{E}\mu _{B}\$.

Круговой виток тока

Даже сегодня в большинстве учебников, где используется система СИ используется не верное определение магнитного момента кругового тока:

$p_{c}=I\cdot S$,

где $I$ электрический ток, а $S$ площадь, ограниченная током. Это выражение совпадает по форме с аналогичным выражением в системе СГС (где оно верно!). В действительности магнитный дипольный момент кругового тока в системе СИ должен определяться следующим образом:

$p_{c}=\mu _{E}\cdot I\cdot S$,

т.е. учитывать магнитную постоянную.

См. также

• Ядерный магнетон
• Магнитный монополь

Ссылки

• Рекомендованные значения констант CODATA