Число Лефшеца: различия между версиями

[непроверенная версия]

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Версия от 20:20, 1 марта 2010

Число Лефшеца — инвариант отображения топологического пространства в себя. Пусть $X$ — топологическое пространство, $f:X\to X$ — непрерывное отображение, $H_{*}(X,k)$ — группы гомологий $X$ с коэффициентами в поле $k$ . Пусть $t_{n}$ — след линейного преобразования

f_{*}:H_{n}(X,k)\to H_{n}(X,k)

По определению, число Лефшеца отображения $f$ есть

\Lambda (f,X)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n}

Число Лефшеца определено если общий ранг групп $H_{*}(X,k)=0$ конечен, и в этом случае не зависит от выбора $k$ .

Свойства

Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике $X$ .

Формула Лефшеца

Пусть $X$ — связное ориентируемое $n$ -мерное компактное топологическое многообразие или $n$ -мерный конечный клеточный комплекс, $f:X\to X$ — непрерывное отображение.

Предположим, что все неподвижные точки отображения $f:X\to X$ изолированы.

Для каждой неподвижной точки $x\in X$ , обозначим через $i(x)$ её индекс Кронекера (локальная степень отображения $f$ в окрестности точки $x$ ). Тогда формула Лефшеца для $X$ и $f$ имеет вид

\sum _{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda (f,X).

История

Эта формула была установлена впервые Лефшецeм для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и для позже конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения $n$ -мерной сферы в себя.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Число Лефшеца''' — инвариант отображения [[топологическое пространство|топологического пространства]] в себя.
+'''Число Лефшеца''' — инвариант отображения [[топологическое пространство|топологического пространства]] в себя.
-Пусть <math>X</math> —  топологическое пространство, <math>f:X\to X</math> —  [[непрерывное отображение]], <math>H_*(X,k)</math> — [[гомологии|группы гомологий]] <math>X</math> с коэффициентами в [[Поле (алгебра)|поле]]   <math>k</math>.
+Пусть <math>X</math> — топологическое пространство, <math>f:X\to X</math> — [[непрерывное отображение]], <math>H_*(X,k)</math> — [[гомологии|группы гомологий]] <math>X</math> с коэффициентами в [[Поле (алгебра)|поле]] <math>k</math>.
-Пусть <math>t_n</math>  — [[След матрицы|след]] линейного преобразования
+Пусть <math>t_n</math> — [[След матрицы|след]] линейного преобразования
-:<math>f_*:H_n(X,k)\to H_n(X,k)</math>
+: <math>f_*:H_n(X,k)\to H_n(X,k)</math>
 По определению, число Лефшеца отображения <math>f</math> есть
-:<math>\Lambda(f,X)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^nt_n</math>
+: <math>\Lambda(f,X)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^nt_n</math>
-Число  Лефшеца определено если общий ранг групп <math>H_*(X,k)=0</math> конечен, и в этом случае не зависит от выбора <math>k</math>.
+Число Лефшеца определено если общий ранг групп <math>H_*(X,k)=0</math> конечен, и в этом случае не зависит от выбора <math>k</math>.
-==Свойства==
+== Свойства ==
-*Число Лефшеца [[тождественное отображение|тождественного отображения]] равно [[эйлерова характеристика|эйлеровой характеристике]] <math>X</math>.
+* Число Лефшеца [[тождественное отображение|тождественного отображения]] равно [[эйлерова характеристика|эйлеровой характеристике]] <math>X</math>.
-===Формула Лефшеца===
+=== Формула Лефшеца ===
-Пусть <math>X</math> — связное ориентируемое <math>n</math>-мерное [[компактное пространство|компактное]] топологическое [[многообразие]] или <math>n</math>-мерный конечный [[клеточный комплекс]], <math>f : X \to X</math> — непрерывное отображение.
+Пусть <math>X</math> — связное ориентируемое <math>n</math>-мерное [[компактное пространство|компактное]] топологическое [[многообразие]] или <math>n</math>-мерный конечный [[клеточный комплекс]], <math>f : X \to X</math> — непрерывное отображение.
 Предположим, что все неподвижные точки отображения <math>f : X \to X</math> изолированы.
 Для каждой неподвижной точки <math>x\in X</math>, обозначим через <math>i(x)</math> её [[индекс Кронекера]] (локальная [[степень отображения]] <math>f</math> в окрестности точки <math>x</math>).
 Тогда формула Лефшеца для <math>X</math> и <math>f</math> имеет вид
-:<math>\sum_{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda(f,X).</math>
+: <math>\sum_{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda(f,X).</math>
-==История==
+== История ==
 Эта формула была установлена впервые [[Лефшец, Соломон|Лефшецeм]] для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и для позже конечных клеточных комплексов.
 Этим работам Лефшеца предшествовала работа [[Брауэр]]а 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения <math>n</math>-мерной сферы в себя.
+{{rq|topic=math|sources}}
 [[Категория:Алгебраическая топология]]

Число Лефшеца: различия между версиями

Версия от 20:20, 1 марта 2010

Свойства

Формула Лефшеца

История

Навигация

Поиск