Специальные функции

Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов. К специальным функциям относятся, в частности, гипергеометрическая функция, сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, трансцендентные функции, бета-функция, гамма-функция, дзета-функция, интегральный логарифм, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции, функции параболического цилиндра.

Специальные функции возникают обычно из следующих соображений:

• неберущиеся интегралы;
• решения дифференциальных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
• ряды, не сходящиеся к элементарным функциям;
• дискретнозначные функции.

Эта разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через неберущийся интеграл или в виде ряда.

Функции-интегралы

К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции.

Функции-ряды

К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзета-функция.

Неэлементарные решения дифференциальных уравнений

К таким специальным функциям относятся: сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического цилиндра.

Проект Бейтмана

Проект Бейтмана (англ. Bateman Manuscript Project) — крупный проект по подготовке материалов и созданию многотомного энциклопедического издания по теории специальных функций. Был начат в 1946 году после смерти выдающегося прикладного математика Гарри Бейтмана, который собрал и начал обработку большого количества материалов по теории специальных функций, но не успел полностью систематизировать их и подготовить к печати. Проводился в течение нескольких лет группой математиков под руководством А. Эрдейи в Калифорнийском технологическом институте (США), где в последние годы жизни работал Бейтман. В группу входили известные математики, в числе которых В. Магнус и Ф. Трикоми. Результатом работы стала публикация пятитомного справочника (переведённого впоследствии на русский язык), три тома которого содержат данные по высшим трансцендентным функциям и два тома — таблицы интегральных преобразований.

Литература

• Математический энциклопедический словарь, — Любое издание.
• Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.

Ссылки

• О. М. Киселёв. Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями.
• Ф. Олвер. Введение в асимптотические методы и специальные функции.
• EqWorld.
• Bateman Manuscript Project
• Biographies: Harry Bateman
• Biographies: Arthur Erdélyi