Рис. 1синуса , косинуса , тангенса , котангенса , секанса , косеканса Тригонометрические функции — вид элементарных функций , изучаемых в тригонометрии . Обычно к ним относят синус (sin x ), косинус (cos x ), тангенс (tg x ), котангенс (ctg x ), секанс (sec x ) и косеканс (cosec x ), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см.: Редко используемые тригонометрические функции ). В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x . Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений , что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа .
Файл:Trig functions.gif Рис. 2 Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O . Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB . Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсцису точки В обозначим xB , ординату обозначим yB (см. рисунок).
Синусом называется отношение
sin
α
=
y
B
R
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}}
Косинусом называется отношение
cos
α
=
x
B
R
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}}
Тангенс определяется как
tg
α
=
sin
α
cos
α
=
y
B
x
B
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}}
Котангенс определяется как
ctg
α
=
cos
α
sin
α
=
x
B
y
B
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}}
Секанс определяется как
sec
α
=
1
cos
α
==
R
x
B
{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}=={\frac {R}{x_{B}}}}
Косеканс определяется как
cosec
α
=
1
sin
α
==
R
y
B
{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}=={\frac {R}{y_{B}}}}
Рис. 3
α
{\displaystyle \alpha }
Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате yB , а косинус — абсциссе xB . На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.
Если α — действительное число , то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.
Файл:Direct trg.gif Рис. 4 Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:
Синусом α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)
Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)
Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету)
Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету) Построив систему координат с началом в точке O , направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см.: Теорема синусов , Теорема косинусов ).
Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения
d
2
d
φ
2
R
(
φ
)
=
−
R
(
φ
)
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}
с начальными условиями
cos
(
0
)
=
sin
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle \cos(0)=\sin '(0)=1}
cos
″
x
=
−
cos
x
,
{\displaystyle \ \cos ''x=-\cos x,}
sin
″
x
=
−
sin
x
.
{\displaystyle \ \sin ''x=-\sin x.}
Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений :
{
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
−
g
(
x
)
g
(
y
)
g
(
x
+
y
)
=
g
(
x
)
f
(
y
)
+
f
(
x
)
g
(
y
)
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.}
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
x
9
9
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
,
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
x
8
8
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
.
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями
tg
x
=
sin
x
cos
x
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},}
ctg
x
=
cos
x
sin
x
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},}
sec
x
=
1
cos
x
{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}
cosec
x
=
1
sin
x
,
{\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},}
tg
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
62
2835
x
9
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
|
B
2
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
(
−
π
2
<
x
<
π
2
)
,
{\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
ctg
x
=
1
x
−
x
3
−
x
3
45
−
2
x
5
945
−
x
7
4725
−
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
|
B
2
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
(
−
π
<
x
<
π
)
,
{\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
sec
x
=
1
+
1
2
x
2
+
5
24
x
4
+
61
720
x
6
+
277
8064
x
8
+
⋯
=
1
+
∑
n
=
1
∞
E
n
(
2
n
)
!
x
2
n
,
(
−
π
2
<
x
<
π
2
)
,
{\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
csc
x
=
1
x
+
1
6
x
+
7
360
x
3
+
31
15120
x
5
+
127
604800
x
7
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
2
2
n
−
1
−
1
)
B
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
(
−
π
<
x
<
π
)
,
{\displaystyle {\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
где
B
n
{\displaystyle B_{n}}
числа Бернулли ,
E
n
{\displaystyle E_{n}}
числа Эйлера .
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.
Значения косинуса и синуса на окружности.
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
0°(0 рад)
30° (π/6)
45° (π/4)
60° (π/3)
90° (π/2)
180° (π)
270° (3π/2)
360° (2π)
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
t
g
α
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}
N/A
0
{\displaystyle {0}\,\!}
N/A
0
{\displaystyle {0}\,\!}
c
t
g
α
{\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,\!}
N/A
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
N/A
0
{\displaystyle {0}\,\!}
N/A
sec
α
{\displaystyle \sec \alpha \,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\!}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}
2
{\displaystyle {2}\,\!}
N/A
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
N/A
1
{\displaystyle {1}\,\!}
cosec
α
{\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha \,\!}
N/A
2
{\displaystyle {2}\,\!}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
N/A
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
N/A
α
{\displaystyle \alpha \,}
π
12
=
15
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }}
π
10
=
18
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }}
π
8
=
22.5
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }}
π
5
=
36
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }}
3
π
10
=
54
∘
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }}
3
π
8
=
67.5
∘
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67.5^{\circ }}
2
π
5
=
72
∘
{\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
3
−
1
2
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
−
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
2
−
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
−
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
+
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
2
+
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
+
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
3
+
1
2
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
+
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2
+
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
+
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
5
−
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2
−
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
−
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
1
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2
−
1
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
1
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2
+
1
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
2
+
1
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
1
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
2
−
1
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
1
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
tg
π
120
=
tg
1.5
∘
=
8
−
2
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
−
2
(
2
+
3
)
(
5
+
5
)
8
+
2
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
+
2
(
2
+
3
)
(
5
+
5
)
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{120}}=\operatorname {tg} 1.5^{\circ }={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}}}
cos
π
240
=
1
16
(
2
−
2
+
2
(
2
(
5
+
5
)
+
3
−
15
)
+
2
+
2
+
2
(
6
(
5
+
5
)
+
5
−
1
)
)
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{240}}={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right)}
cos
π
17
=
1
8
2
(
2
17
(
17
−
17
)
2
−
17
−
17
2
−
4
2
(
17
+
17
)
+
3
17
+
17
+
2
(
17
−
17
)
+
17
+
15
)
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2\left(2{\sqrt {{\sqrt {\frac {17(17-{\sqrt {17}})}{2}}}-{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}-4{\sqrt {2(17+{\sqrt {17}})}}+3{\sqrt {17}}+17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {17}}+15\right)}}}
Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора , имеем:
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1.
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.\qquad \qquad \,}
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:
1
+
t
g
2
α
=
1
cos
2
α
,
{\displaystyle 1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},\qquad \qquad \,}
1
+
c
t
g
2
α
=
1
sin
2
α
.
{\displaystyle 1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}.\qquad \qquad \,}
Синус и косинус — непрерывные функции .
Косинус и секанс — чётные . Остальные четыре функции — нечётные , то есть:
sin
(
−
α
)
=
−
sin
α
,
{\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,}
cos
(
−
α
)
=
cos
α
,
{\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,}
t
g
(
−
α
)
=
−
t
g
α
,
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,}
c
t
g
(
−
α
)
=
−
c
t
g
α
,
{\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,}
sec
(
−
α
)
=
sec
α
,
{\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,}
c
o
s
e
c
(
−
α
)
=
−
c
o
s
e
c
α
.
{\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.}
Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π . Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
f
(
n
π
+
α
)
=
±
f
(
α
)
{\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha )}
f
(
n
π
−
α
)
=
±
f
(
α
)
{\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha )}
f
(
(
2
n
+
1
)
π
2
+
α
)
=
±
g
(
α
)
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha )}
f
(
(
2
n
+
1
)
π
2
−
α
)
=
±
g
(
α
)
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha )}
Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций), n — целое число . Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим, что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и, в случае их несовпадения, перед правой частью пишем знак минуса, например:
cos
(
π
2
−
α
)
=
sin
α
,
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha \,,}
Некоторые формулы приведения:
β
{\displaystyle \beta \,}
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }
π
+
α
{\displaystyle \pi +\alpha \,}
3
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }
π
−
α
{\displaystyle \pi -\alpha \,}
3
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }
2
π
−
α
{\displaystyle 2\,\pi -\alpha }
sin
β
{\displaystyle \sin \beta \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos
β
{\displaystyle \cos \beta \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
tg
β
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
β
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:
sin
(
α
±
β
)
=
sin
α
cos
β
±
cos
α
sin
β
,
{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \,\cos \beta \pm \cos \alpha \,\sin \beta ,}
cos
(
α
±
β
)
=
cos
α
cos
β
∓
sin
α
sin
β
,
{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \,\cos \beta \mp \sin \alpha \,\sin \beta ,}
tg
(
α
±
β
)
=
tg
α
±
tg
β
1
∓
tg
α
tg
β
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha \pm \operatorname {tg} \,\beta }{1\mp \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta }},}
ctg
(
α
±
β
)
=
ctg
α
ctg
β
∓
1
ctg
β
±
ctg
α
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \,\beta \pm \operatorname {ctg} \,\alpha }}.}
Аналогичные формулы для суммы трёх углов:
sin
(
α
+
β
+
γ
)
=
sin
α
cos
β
cos
γ
+
cos
α
sin
β
cos
γ
+
cos
α
cos
β
sin
γ
−
sin
α
sin
β
sin
γ
,
{\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,}
cos
(
α
+
β
+
γ
)
=
cos
α
cos
β
cos
γ
−
sin
α
sin
β
cos
γ
−
sin
α
cos
β
sin
γ
−
cos
α
sin
β
sin
γ
.
{\displaystyle \cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .}
Формулы двойного угла:
sin
2
α
=
2
sin
α
cos
α
=
2
tg
α
1
+
tg
2
α
,
{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }},}
cos
2
α
=
cos
2
α
−
sin
2
α
=
2
cos
2
α
−
1
=
1
−
2
sin
2
α
=
1
−
tg
2
α
1
+
tg
2
α
=
ctg
α
−
tg
α
ctg
α
+
tg
α
,
{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},}
tg
2
α
=
2
tg
α
1
−
tg
2
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }},}
ctg
2
α
=
ctg
2
α
−
1
2
ctg
α
=
1
2
(
ctg
α
−
tg
α
)
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha \right).}
Формулы тройного угла:
sin
3
α
=
3
sin
α
−
4
sin
3
α
,
{\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,}
cos
3
α
=
4
cos
3
α
−
3
cos
α
,
{\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,}
tg
3
α
=
3
tg
α
−
tg
3
α
1
−
3
tg
2
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},}
ctg
3
α
=
ctg
3
α
−
3
ctg
α
3
ctg
2
α
−
1
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.}
Прочие формулы для кратных углов:
sin
4
α
=
cos
α
(
4
sin
α
−
8
sin
3
α
)
,
{\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),}
cos
4
α
=
8
cos
4
α
−
8
cos
2
α
+
1
,
{\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,}
tg
4
α
=
4
tg
α
−
4
tg
3
α
1
−
6
tg
2
α
+
tg
2
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},}
ctg
4
α
=
ctg
4
α
−
6
ctg
2
α
+
1
4
ctg
3
α
−
4
ctg
α
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},}
sin
5
α
=
16
sin
5
α
−
20
sin
3
α
+
5
sin
α
{\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha }
cos
5
α
=
16
cos
5
α
−
20
cos
3
α
+
5
cos
α
{\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha }
tg
5
α
=
tg
α
tg
4
α
−
10
tg
2
α
+
5
5
tg
4
α
−
10
tg
2
α
+
1
{\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}}}
sin
(
n
α
)
=
2
n
−
1
∏
k
=
0
n
−
1
sin
(
α
+
π
k
n
)
{\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)}
Гамма-функции Формулы половинного угла:
sin
α
2
=
1
−
cos
α
2
,
0
⩽
α
⩽
2
π
,
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,}
cos
α
2
=
1
+
cos
α
2
,
−
π
⩽
α
⩽
π
,
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,}
tg
α
2
=
1
−
cos
α
sin
α
=
sin
α
1
+
cos
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},}
ctg
α
2
=
sin
α
1
−
cos
α
=
1
+
cos
α
sin
α
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},}
tg
α
2
=
1
−
cos
α
1
+
cos
α
,
0
⩽
α
<
π
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,}
ctg
α
2
=
1
+
cos
α
1
−
cos
α
,
0
<
α
⩽
π
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .}
Формулы для произведений функций двух углов:
sin
α
sin
β
=
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
2
,
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},}
sin
α
cos
β
=
sin
(
α
−
β
)
+
sin
(
α
+
β
)
2
,
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},}
cos
α
cos
β
=
cos
(
α
−
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
2
,
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},}
tg
α
tg
β
=
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
cos
(
α
−
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},}
tg
α
ctg
β
=
sin
(
α
−
β
)
+
sin
(
α
+
β
)
sin
(
α
+
β
)
−
sin
(
α
−
β
)
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},}
ctg
α
ctg
β
=
cos
(
α
−
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.}
Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:
sin
α
sin
β
sin
γ
=
sin
(
α
+
β
−
γ
)
+
sin
(
β
+
γ
−
α
)
+
sin
(
α
−
β
+
γ
)
−
sin
(
α
+
β
+
γ
)
4
,
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
sin
α
sin
β
cos
γ
=
−
cos
(
α
+
β
−
γ
)
+
cos
(
β
+
γ
−
α
)
+
cos
(
α
−
β
+
γ
)
−
cos
(
α
+
β
+
γ
)
4
,
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
sin
α
cos
β
cos
γ
=
sin
(
α
+
β
−
γ
)
−
sin
(
β
+
γ
−
α
)
+
sin
(
α
−
β
+
γ
)
−
sin
(
α
+
β
+
γ
)
4
,
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
cos
α
cos
β
cos
γ
=
cos
(
α
+
β
−
γ
)
+
cos
(
β
+
γ
−
α
)
+
cos
(
α
−
β
+
γ
)
+
cos
(
α
+
β
+
γ
)
4
.
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.}
Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.
sin
2
α
=
1
−
cos
2
α
2
,
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}},}
tg
2
α
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }},}
cos
2
α
=
1
+
cos
2
α
2
,
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}},}
ctg
2
α
=
1
+
cos
2
α
1
−
cos
2
α
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},}
sin
3
α
=
3
sin
α
−
sin
3
α
4
,
{\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},}
tg
3
α
=
3
sin
α
−
sin
3
α
3
cos
α
+
cos
3
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},}
cos
3
α
=
3
cos
α
+
cos
3
α
4
,
{\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},}
ctg
3
α
=
3
cos
α
+
cos
3
α
3
sin
α
−
sin
3
α
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},}
sin
4
α
=
cos
4
α
−
4
cos
2
α
+
3
8
,
{\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},}
tg
4
α
=
cos
4
α
−
4
cos
2
α
+
3
cos
4
α
+
4
cos
2
α
+
3
,
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},}
cos
4
α
=
cos
4
α
+
4
cos
2
α
+
3
8
,
{\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},}
ctg
4
α
=
cos
4
α
+
4
cos
2
α
+
3
cos
4
α
−
4
cos
2
α
+
3
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.}
A
s
i
n
x
+
B
c
o
s
x
=
A
2
+
B
2
sin
(
x
+
ϕ
)
,
{\displaystyle Asin\ x+Bcos\ x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(x+\phi ),}
s
i
n
ϕ
=
B
A
2
+
B
2
,
c
o
s
ϕ
=
A
A
2
+
B
2
{\displaystyle sin\phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},cos\phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}
sin
α
±
sin
β
=
2
sin
α
±
β
2
cos
α
∓
β
2
{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}
cos
α
+
cos
β
=
2
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
cos
α
−
cos
β
=
−
2
sin
α
+
β
2
sin
β
−
α
2
{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}}
tg
α
±
tg
β
=
sin
(
α
±
β
)
cos
α
cos
β
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}
1
±
sin
2
α
=
(
sin
α
±
cos
α
)
2
{\displaystyle 1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2}}
Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.
sin
x
=
sin
x
1
=
2
sin
x
2
cos
x
2
sin
2
x
2
+
cos
2
x
2
=
2
tg
x
2
1
+
tg
2
x
2
{\displaystyle \sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
cos
x
=
cos
x
1
=
cos
2
x
2
−
sin
2
x
2
cos
2
x
2
+
sin
2
x
2
=
1
−
tg
2
x
2
1
+
tg
2
x
2
{\displaystyle \cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
tg
x
=
sin
x
cos
x
=
2
tg
x
2
1
−
tg
2
x
2
{\displaystyle \operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
ctg
x
=
cos
x
sin
x
=
1
−
tg
2
x
2
2
tg
x
2
{\displaystyle \operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}
sec
x
=
1
cos
x
=
1
+
tg
2
x
2
1
−
tg
2
x
2
{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
cosec
x
=
1
sin
x
=
1
+
tg
2
x
2
2
tg
x
2
{\displaystyle \operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}
Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:
(
sin
x
)
′
=
cos
x
,
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,,}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
,
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,,}
(
tg
x
)
′
=
1
cos
2
x
,
{\displaystyle (\mathop {\operatorname {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},}
(
ctg
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
,
{\displaystyle (\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}},}
(
sec
x
)
′
=
sin
x
cos
2
x
,
{\displaystyle (\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}},}
(
cosec
x
)
′
=
−
cos
x
sin
2
x
.
{\displaystyle (\operatorname {cosec} ~x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.}
Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
,
{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C\,,}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
,
{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C\,,}
∫
tg
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
,
{\displaystyle \int \mathop {\operatorname {tg} } \,x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,}
∫
ctg
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
,
{\displaystyle \int \mathop {\operatorname {ctg} } \,x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
tg
(
π
4
+
x
2
)
|
+
C
,
{\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C\,,}
∫
cosec
x
d
x
=
ln
|
tg
x
2
|
+
C
.
{\displaystyle \int \operatorname {cosec} ~x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,{\frac {x}{2}}\right|+C.}
Тригонометрические функции комплексного аргумента можно вычислить следующим образом:
sin (x + iy ) = sin x ch y + i cos x sh y cos (x + iy ) = cos x ch y - i sin x sh y где sh и ch — гиперболический синус и гиперболический косинус (см. гиперболические функции ; см. также формула Эйлера ).
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать сколь угодно большие значения.
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива» . Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар» , обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» . Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб» , что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus , имеющим то же значение.
Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.
Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)
Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 .
Бронштейн И. Н. , Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.Г. Б. Двайт .Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М. : Наука, 1973. — С. 70—102.
Шаблон:Link FA
Шаблон:Link FA
Шаблон:Link GA
Шаблон:Link GA
Шаблон:Link FA
Шаблон:Link FA
