Кристаллическая решётка

Кристалли́ческая решётка — вспомогательный геометрический образ, вводимый для анализа строения кристалла. Решётка имеет сходство с канвой или сеткой, что дает основание называть точки решётки узлами. В зависимости от типов химической связи между узлами различают ионные, атомные, молекулярные и металлические кристаллические решетки. Решётка — такая совокупность точек, которая возникает из отдельной произвольно выбранной точки кристалла под действием группы трансляции. Это расположение замечательно тем, что относительно каждой точки все остальные расположены совершенно одинаково. Применение к решётке в целом любой из присущих ей трансляций приводит к ее параллельному переносу и совмещению. Для удобства анализа обычно точки решётки совмещают с центрами каких-либо атомов из числа входящих в кристалл, либо с центрами молекул.

Общая характеристика

Существует огромное количество кристаллических структур. Их объединяет главное свойство кристаллического состояния вещества — закономерное положение атомов в кристаллической решётке. Одно и то же вещество может кристаллизоваться в разных кристаллических решётках и обладать весьма различными свойствами (классический пример графит — алмаз). В случае простых веществ это явление называется аллотропией, в общем случае любых химических соединений — полиморфизмом. В то же время, разные вещества могут образовывать однотипные, или изоморфные, решётки, как, например, решётки многих металлов: меди, алюминия, серебра, золота. Иногда происходит замещение атомов в кристаллической решётке на атомы другого химического элемента с образованием твёрдого раствора.

В зависимости от пространственной симметрии, все кристаллические решётки подразделяются на семь кристаллических систем. По форме элементарной ячейки они могут быть разбиты на шесть сингоний. Все возможные сочетания имеющихся в кристаллической решётке поворотных осей симметрии и зеркальных плоскостей симметрии приводят к делению кристаллов на 32 класса симметрии, а с учётом винтовых осей симметрии и скользящих плоскостей симметрии на 230 пространственных групп.

Помимо основных трансляций, на которых строится элементарная ячейка, в кристаллической решётке могут присутствовать дополнительные трансляции, называемые решётками Браве. В трёхмерных решётках бывают гранецентрированная (F), объёмноцентрированная (I), базоцентрированная (A, B или C), примитивная (P) и ромбоэдрическая (R) решётки Браве. Примитивная система трансляций состоит из множества векторов (a, b, c), во все остальные входят одна или несколько дополнительных трансляций. Так, в объёмноцентрированную систему трансляций Браве входит четыре вектора (a, b, c, ½(a+b+c)), в гранецентрированную — шесть (a, b, c, ½(a+b), ½(b+c), ½(a+c)). Базоцентрированные системы трансляций содержат по четыре вектора: A включает вектора (a, b, c, ½(b+c)), B — вектора (a, b, c, ½(a+c)), а C — (a, b, c, ½(a+b)), центрируя одну из граней элементарного объёма. В системе трансляций Браве R дополнительные трансляции возникают только при выборе гексагональной элементарной ячейки и в этом случае в систему трансляций R входят вектора (a, b, c, ¹/₃(a+b+c), —¹/₃(a+b+c)).

Решётки Браве

• 
  Гранецентрированная
• 
  Объёмноцентрированная
• 
  Базоцентрированная
• 
  Примитивная

Классификация решёток по симметрии

Сингонии:

• триклинная сингония — наименьшая симметрия, нет одинаковых углов, нет осей одинаковой длины;
• моноклинная сингония — два прямых угла, нет осей одинаковой длины;
• ромбическая сингония — три прямых угла (поэтому ортогонально), нет осей одинаковой длины;
• гексагональная сингония — две оси одинаковой длины в одной плоскости под углом 120°, третья ось под прямым углом;
• тетрагональная сингония — две оси одинаковой длины, три прямых угла;
• тригональная сингония — три оси одинаковой длины и три равных угла, не равных 90°;
• кубическая сингония — высшая степень симметрии, три оси одинаковой длины под прямым углом.

Классификация по симметрии	Классификация по Браве
триклинная сингония (none)	примитивная
моноклинная сингония (1 diad)	примитивная	базоцентрированная
ромбическая сингония (3 perpendicular diads)	примитивная	базоцентрированная	объёмноцентрированная	гранецентрированная
гексагональная сингония (1 hexad)		базоцентрированная
тригональная сингония (1 triad)	simple
тетрагональная сингония (1 tetrad)	примитивная		объёмноцентрированная
кубическая сингония (4 triads)	simple		объёмноцентрированная	гранецентрированная

Простейшие кристаллические решётки

Основная статья: Список структурных типов

Плотнейшая гексагональная упаковка

Плотнейшую гексагональную упаковку имеет более 30 чистых элементов, например: бериллий, кадмий, титан и др. Особенно она характерна для металлов.

Решётка алмаза

Решётка алмаза представляет собой две кубические гранецентрированые решётки Браве, сдвинутые на четверть длины пространственной диагонали куба. Кроме алмаза этой решёткой обладают такие химические элементы как кремний, германий, а также одна из аллотропных модификаций олова, так называемое серое олово.

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Статистическая физика — Глава XIII
• Н. Ашкрофт, Н. Мермин Физика твёрдого тела. Том I.
• Ф. Ф. Греков, Г. Б. Рябенко, Ю. П. Смирнов Структурная кристаллография — Л.:издательство ЛГПИ, 1988.

Ссылки

• Геометрия как искусство.