Атлас (топология)

Карта и атлас — понятия дифференциальной геометрии, позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру.

Определения

Пусть $K$ — числовое поле (например $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$), $X$ — топологическое пространство.

• Карта — это пара $(U,f)$, где

$U$ — открытое множество в $X$

$f$ — гомеоморфизм из $U$ в открытое множество в $K^{n}$

• Если области определения двух карт $\,(U_{1},f_{1})$ и $\,(U_{2},f_{2})$ пересекаются ($U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$), то между множествами $f_{1}^{-1}(U_{2})$ и $f_{2}^{-1}(U_{1})$ имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые функциями замены координат:

  ${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}$

• Две карты $\,(U_{1},f_{1})$ и $\,(U_{2},f_{2})$ называются согласованными, если функции замены координат $\,f_{12}$ и $\,f_{21}$ являются гладкими или аналитическими (в зависимости от контекста).

• Атлас — это множество согласованных карт $\,\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}$, $\alpha \in {\mathcal {A}}$, такое, что $\,\{U_{\alpha }\}$ образует покрытие пространства $X$. Здесь ${\mathcal {A}}$ — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса $\,C^{k}$) или аналитическим, если функции замены координат $\,f_{\alpha _{1}\,\alpha _{2}}$ для всех карт гладкие (класса $\,C^{k}$) или аналитические.

• Чаще всего используются так называемые счётные атласы, в которых множество ${\mathcal {A}}$ счётно, т.е. можно положить ${\mathcal {A}}=\mathbb {N}$.

Связанные определения

• Два атласа называются согласованными, если их объединение также является атласом.