Участник:Черный Дракон/Песочница

Пусть $f(x)=\alpha e^{\beta x}$

Тогда $f^{(n)}(x)=\alpha \beta ^{n}e^{\beta x}$

И решением уравнения $f(x)=f^{(n)}(x)$ будут функции$\alpha e^{\beta x}$ (а также их суммы), для которых $\beta ^{n}=1$, т.е. Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \beta = \cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n},\quad k=0,1,...,n-1}

$\left(f(x)=f^{(n)}(x)\right)\Rightarrow \left(f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}e^{x\left(\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}\right)}\right)$

Для n=1:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \alpha e^x}

Для n=2:

$\alpha e^{x},\alpha e^{-x}$

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$, т.е. гиперболический синус это решение для n=2 $\left({\frac {1}{2}}e^{x},-{\frac {1}{2}}e^{-x}\right)$, а значит $\sinh ''x=\sinh x$

Для n=4:

$\alpha e^{x},\alpha e^{-x},\alpha e^{ix},\alpha e^{-ix}$

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$, т.е. синус это решение для n=4 Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \left(\frac{1}{2i}e^ix,-\frac{1}{2i}e^{-ix}\right)} , следовательно $\sin ^{(4)}x=\sin x$

Остается только доказать, что функции вида $\alpha e^{\beta x},\beta ^{n}=1$ (и их суммы) являются единственными решениями уравнений $f^{(n)}(x)=f(x)$

Доказательства

n=1

$f'(x)=f(x)$

${\frac {f'(x)}{f(x)}}=1$

$(\ln(f(x)))'=1$

$\ln(f(x))=x+c$

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle f(x)=e^{x+c}=e^c e^x=\alpha e^x}

Пример работы метода неопределенных коэффициентов

$f(x)=x^{2}+3x+2$

Пусть нужно найти функцию, обратную $f(x)$. Представим ее в виде

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...$

По определению

$f(p(x))=x$

$2+3p(x)+p^{2}(x)=x$

$2+3(a_{0}+a_{1}x+...)+(a_{0}^{2}+2a_{0}a_{1}x+(2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2})x^{2}+...)=x$

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle (2+3a_0+a_0^2)+(3a_1+2a_0 a_1)x+(a_2+2a_0 a_2 +a_1^2) x^2 + ... = x}

Приравняем коэффициенты при равных степенях

${\begin{cases}a_{0}^{2}+3a_{0}+2=0\\3a_{1}+2a_{0}a_{1}-1=0\\a_{2}+2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}=0\\\cdots \end{cases}}$

Отсюда находим коэффициенты нашего многочлена

${\begin{cases}a_{0}=-2\\a_{1}=-1\\a_{2}={\frac {1}{3}}\\\cdots \end{cases}}$

Или

${\begin{cases}a_{0}=-1\\a_{1}=1\\a_{2}=1\cdots \end{cases}}$

И тогда

$p(x)=-1+x+x^{2}+...$

Или

$p(x)=-2-x+{\frac {x^{2}}{3}}+...$