Липшицево отображение

Липшицево отображение — отображение $f:X\to Y$ между метрическими пространствами $(X,d)$ и ($Y,\rho )$ удовлетворяющее условию

$\rho (f(x),f(y))\leq Ld(x,y)$

Для некоторой вещественной константы $L$ и всех $x,y\in X$. Здесь $|**|_{X}$ обозначает метрику в пространстве $X$. Это условие часто называют условием Липшица.

Связанные определения

• Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также L-липшицевым.
  • 1-Липшецево отображение называют также коротким отображением
• Нижняя грань чисел $L$ удовлетворяющих вышеприведённому неравенству назывется константой Липшица отображения $f$.
• Понятие липшицевой функции естественным образом обощается на функции с ограниченным модулем непрерывности, т.к. условие Липшица записывается так: $\omega (f,\delta )\leq L\delta$.

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

История

Отображения с со свойством

$|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha },\ \alpha \leq 1$

впервые рассматривалось Липшицем (Lipschitz) в 1864 для вещественных функций, в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. В последствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\alpha =1$, а при $\alpha <1$ условием Гёльдера.