Алгебраическая система: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 20: Строка 20:
* [[Полугруппа]] — группоид, в котором умножение [[ассоциативность|ассоциативно]]: <math>a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>.
* [[Полугруппа]] — группоид, в котором умножение [[ассоциативность|ассоциативно]]: <math>a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>.
* [[Моноид]] — полугруппа с единичным элементом.
* [[Моноид]] — полугруппа с единичным элементом.
* [[группа (математика)|Группа]] — моноид в котором для каждого элемента ''a'' группы можно определить обратный элемент ''a''<sup>−1</sup>, такой, что <math>a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e</math>.
* [[группа (математика)|Группа]] — моноид, в котором для каждого элемента ''a'' группы можно определить обратный элемент ''a''<sup>−1</sup>, такой, что <math>a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e</math>.
* [[Абелева группа]] — группа, в которой операция [[коммутативность|коммутативна]], то есть, <math>a\cdot b = b \cdot a</math>. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').
* [[Абелева группа]] — группа, в которой операция [[коммутативность|коммутативна]], то есть, <math>a\cdot b = b \cdot a</math>. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').



Версия от 09:42, 22 сентября 2010

Алгебраическая система или алгебраическая структура — множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Понятие алгебраической системы родственно понятию универсальной алгебры.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество . По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.

Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера иных можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними.

Список алгебраических систем

  • Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений ([1] — С.15).

Группоиды, полугруппы, группы

  • Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.
  • Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение имеет единственное решение для любых и .
  • Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
  • Лупа — квазигруппа с единичным элементом , таким, что .
  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .
  • Моноид — полугруппа с единичным элементом.
  • Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что .
  • Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

  • Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
  • Почти-кольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)
  • Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности: .
  • Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
  • Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
  • Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
  • Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

Модули

Алгебры

Решётки

См. также

Примечания

  1. Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974.

Литература

  • П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с
  • А. И. Мальцев «Алгебраические системы», — М., Наука, 1970 г., 392 стр. с илл.
  • «Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991, 592 с + 480 с.