Алгебра над кольцом

Пусть $K$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Кольцо $A$ (не обязательно ассоциативное) называется алгеброй над $K$ или $K$-алгеброй, если для любых элементов $k\in K$, $a\in A$ однозначно определено произведение $ka\in A$, причем для всех $k,\;l\in K$ и $a,\;b\in A$ справедливы соотношения

1. $(k+l)a=ka+la$
2. $k(a+b)=ka+kb$
3. $k(la)=(kl)a$
4. $k(ab)=(ka)b=a(kb)$
5. $1a=a$, где $1$ — единица кольца $K$

Если существует элемент $e\in A$ такой, что $ea=ae=a$ для всех $a\in A$, то $e$ называется единицей алгебры $A$, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия 4 требуют более слабое:

$k(ab)=(ka)b$

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $na$ (где $n$ — целое число) обычно, то есть как сумму $n$ копий $a$. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Алгебра над полем

Если $K$ является полем, то, по определению, $K$-алгебра является векторным пространством над $K$, а значит, имеет базис. Это дает возможность строить алгебры над полем по базису, для чего достаточно задать таблицу умножения базисных элементов. Однако, такой подход удобен только для конечномерных алгебр.

Свойства

• Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $K$ можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $K$.

Отображение алгебры

Мы можем рассматривать алгебру $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ как модуль $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$. Отображение

$f:A\rightarrow B$

алгебры $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ над кольцом $K\displaystyle$ называется линейным, если

$f(a+b)=f(a)+f(b)\displaystyle$

$f(ka)=kf(a)\displaystyle$

для любых $a\displaystyle$, $b\in A$, $k\in K$. Множество линейных отображений алгебры $A\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ обозначается символом ${\mathcal {L}}(A;B)$.

Линейное отображение

$f:A\rightarrow B$

алгебры $A\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ называется гомоморфизмом, если

$f(ab)=f(a)f(b)\displaystyle$

для любых $a\displaystyle$, $b\in A$, а также выполнено условие: если алгебры $A\displaystyle$ и $B\displaystyle$ имеют единицу, то

$f(e_{A})=e_{B}\displaystyle$

Множество гомоморфизмов алгебры $A\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ обозначается символом $H(A;B)\displaystyle$.

Очевидно, что $H(A;B)\subseteq {\mathcal {L}}(A;B)$.

Примеры

• Общие
  • алгебры квадратных матриц
  • алгебры многочленов
  • алгебра формальных степенных рядов

• Алгебры над полем вещественных чисел
  • Комплексные числа
  • Двойные числа
  • Дуальные числа
  • Кватернион