Закон Гука

Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke). Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

$\!F=-k\Delta l$

Здесь $F$ сила натяжения стержня, $\Delta l$ — его удлинение(сжатие), а $k$ называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения $S$ и длины $L$) явно, записав коэффициент упругости как

$k={\frac {ES}{L}}$

Величина $E$ называется модулем Юнга и зависит только от свойств тела.

Если ввести относительное удлинение

$\varepsilon ={\frac {\Delta l}{L}}$

и нормальное напряжение в поперечном сечении

$\sigma ={\frac {F}{S}}\!$

то закон Гука запишется как

$\sigma =E\varepsilon \$

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга $C_{ijkl}$ и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора $C_{ijkl}$, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

$\sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl},$

где $\sigma _{ij}$ — тензор напряжений, $\varepsilon _{kl},$ — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор $C_{ijkl}$ содержит только два независимых коэффициента.

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

См. также

• Коэффициент Пуассона
• Тензор напряжений
• Тензор упругости
• Тензор деформации
• Теория упругости