Алгебра над кольцом

Пусть $K\displaystyle$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль $A\displaystyle$ над кольцом $K\displaystyle$, в котором для заданного билинейного отображения

$f:A\times A\rightarrow A$

определенно произведение согласно равенству

$ab=f(a,b)\displaystyle$

называется алгеброй над $K\displaystyle$ или $K\displaystyle$-алгеброй.

Согласно определению для всех $k,\;l\in K$ и $a\displaystyle$, $b\displaystyle$, $c\in A$ справедливы соотношения

1. $a(b+c)=ab+ac\displaystyle$
2. $(a+b)c=ac+bc\displaystyle$
3. $(k+l)a=ka+la\displaystyle$
4. $k(a+b)=ka+kb\displaystyle$
5. $k(la)=(kl)a\displaystyle$
6. $k(ab)=(ka)b=a(kb)\displaystyle$
7. $1a=a\displaystyle$, где $1\displaystyle$ — единица кольца $K\displaystyle$

Нетрудно убедиться, что относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для $a\displaystyle$, $b\in A$ коммутатор определён равенством

$[a,b]=ab-ba\displaystyle$

$K\displaystyle$-алгебра называется коммутативной, если

$[a,b]=0\displaystyle$

Для $a\displaystyle$, $b\displaystyle$, $c\in A$ ассоциатор определён равенством

$(a,b,c)=(ab)c-a(bc)\displaystyle$

$K\displaystyle$-алгебра называется ассоциативной, если

$(a,b,c)=0\displaystyle$

Если существует элемент $e\in A\displaystyle$ такой, что $ea=ae=a\displaystyle$ для всех $a\in A$, то $e\displaystyle$ называется единицей алгебры $A\displaystyle$, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия 4 требуют более слабое:

$k(ab)=(ka)b\displaystyle$

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $na\displaystyle$ (где $n\displaystyle$ — целое число) обычно, то есть как сумму $n\displaystyle$ копий $a\displaystyle$. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения $f\displaystyle$ выбрать полилинейное отображение

$g:A^{n}\rightarrow A$

и определить произведение согласно правилу

$a_{1}...a_{n}=g(a_{1},...,a_{n})\displaystyle$

то полученная алгебраическая структура называется $n\displaystyle$-алгеброй.

Свободная алгебра

Если алгебра $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом $K\displaystyle$. Если алгебра $A\displaystyle$ имеет конечный базис, то алгебра $A\displaystyle$ называется конечномерной.

Если $K\displaystyle$ является полем, то, по определению, $K\displaystyle$-алгебра является векторным пространством над $K\displaystyle$, а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают $e_{1}\displaystyle$, ..., $e_{n}\displaystyle$. Если алгебра имеет единицу $e\displaystyle$, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают $e_{0}=e\displaystyle$. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения

$e_{i}e_{j}=C_{ij}^{k}e_{k}$

А именно, если $a=a^{k}e_{k}\displaystyle$, $b=b^{k}e_{k}\displaystyle$, то произведение можно представить в виде

$ab=C_{ij}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}$

Величины $C_{ij}^{k}\in K$ называются структурными константами алгебры $A\displaystyle$.

Если алгебра коммутативна, то

$C_{ij}^{k}=C_{ji}^{k}$

Если алгебра ассоциативна, то

$C_{ij}^{k}C_{ml}^{j}=C_{im}^{j}C_{jl}^{k}$

Свойства

• Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $K$ можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $K$.

Отображение алгебры

Мы можем рассматривать алгебру $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ как модуль $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$. Отображение

$f:A\rightarrow B$

алгебры $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ над кольцом $K\displaystyle$ называется линейным, если

$f(a+b)=f(a)+f(b)\displaystyle$

$f(ka)=kf(a)\displaystyle$

для любых $a\displaystyle$, $b\in A$, $k\in K$. Множество линейных отображений алгебры $A\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ обозначается символом ${\mathcal {L}}(A;B)$.

Линейное отображение

$f:A\rightarrow B$

алгебры $A\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ называется гомоморфизмом, если

$f(ab)=f(a)f(b)\displaystyle$

для любых $a\displaystyle$, $b\in A$, а также выполнено условие: если алгебры $A\displaystyle$ и $B\displaystyle$ имеют единицу, то

$f(e_{A})=e_{B}\displaystyle$

Множество гомоморфизмов алгебры $A\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ обозначается символом $H(A;B)\displaystyle$.

Очевидно, что $H(A;B)\subseteq {\mathcal {L}}(A;B)$.

Примеры

• Общие
  • алгебры квадратных матриц
  • алгебры многочленов
  • алгебра формальных степенных рядов

• Алгебры над полем вещественных чисел
  • Комплексные числа
  • Двойные числа
  • Дуальные числа
  • Кватернион