Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон сферических треугольников. Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.

История

Основы сферической тригонометрии были заложены греческим математиком и астрономом Гиппархом во II веке до н. э. Важный вклад в её развитие внесли такие античные учёные, как Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Сферическая тригонометрия древних греков опиралась на применение теоремы Менелая к полному четырёхстороннику на сфере. Древнегреческие математики излагали условие теоремы Менелая не на языке отношений синусов, а на языке отношений хорд. Для выполнения требуемых расчётов применялись таблицы хорд, аналогичные последующим таблицам синусов.

Как самостоятельная дисциплина сферическая тригонометрия сформировалась в работах средневековых математиков стран ислама. Наибольший вклад в её развитие в эту эпоху внесли такие учёные, как Сабит ибн Корра, Ибн Ирак, Кушьяр ибн Лаббан, Абу-л-Вафа, ал-Бируни, Джабир ибн Афлах, ал-Джайяни, Насир ад-Дин ат-Туси. В их работах были введены основные тригонометрические функции, сформулирована и доказана сферическая теорема синусов и ряд других теорем, применявшихся в астрономических и геодезических расчётах, ведено понятие полярного треугольника, позволявшее вычислять стороны сферического треугольника по трём его данным углам.

История сферической тригонометрии в Европе связана с трудами таких учёных, как Региомонтан, Николай Коперник, Франческо Мавролико.

Основные соотношения

Обозначим стороны сферического треугольника a, b, c, противолежащие этим сторонам углы — A, B, C.

Теоремы для прямоугольного сферического треугольника

Пусть угол C — прямой. Тогда имеют место следующие соотношения:

$~\tan b=\tan c\cos A,$

$~\tan a=\sin b\tan A,$

$~\sin a=\sin c\sin A,$

$~\tan c=\tan A\tan B,$

$~\cos A=\cos a\sin B.$

Теоремы для произвольного сферического треугольника

Сферический треугольник, решённый с помощью теоремы косинусов.

Сферические теоремы косинусов

$~\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,$

$~\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.$

Сферическая теорема синусов

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.$

Первая и вторая сферические теоремы косинусов двойственны по отношению друг к другу. Сферическая теорема синусов двойственна по отношению к самой себе.

Литература

• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.

Ссылки

• Краткий справочник по сферической тригонометрии.

См. также

• Сферическая геометрия