Функция (математика)

Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

График функции
${\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}$.

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами различных множеств. Более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной $x$ однозначно определяет значение выражения $x^{2}$, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Обычно рассматриваются числовые функции, которые ставят одни числа в соответствие другим. Такие функции обладают рядом отличительных свойств и удобно представляются на рисунках в виде графиков.

История

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. В последствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год) — уже практически в современном нами виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).

Определения

Существуют два определения функции:

• интуитивное определение, где понятие функции переводится на обычный язык, используя слова «закон», «правило» или «соответствие»);
• теоретико-множественное определение (на основе понятия бинарного отношения), которое является наиболее строгим (в современном представлении).

Оба определения не противоречат друг другу.

Интуитивное определение

Функция $f$ (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу $x$ из множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

При этом говорят, что функция $f$ задана на множестве $X$, или что $f$ отображает $X$ в $Y$.

Если элементу $x\in X$ сопоставлен элемент $y\in Y$, то говорят, что элемент $y$ находится в функциональной зависимости $f$ от элемента $x$. При этом переменная $x$ называется аргументом функции $f$ или независимой переменной, множество $X$ называется областью задания или областью определения функции, а элемент $y$, соответствующий конкретному элементу $x$ — частным значением функции $f$ в точке $x$. Множество $Y$ всех возможных частных значений функции $f$ называется её областью значений или областью изменения.

Теоретико-множественное определение

В теоретической математике функцию $f$ удобно определить как бинарное отношение (т.е. множество упорядоченных пар $(x,y)\in X\times Y$), которое удовлетворяет следующему условию: для любого $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$ такой, что $(x,y)\in f$.

Это и позволяет говорить о том, что элементу $x\in X$ сопоставлен один и только один элемент $y\in Y$ такой, что $(x,y)\in f$.

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов $(f,X,Y)$, где

• множество $X$ называется о́бластью определе́ния;
• множество $Y$ называется о́бластью значе́ний;
• множество упорядоченных пар $f\subseteq X\times Y$ или, что то же самое, график функции.

Обозначения

Если задана функкция $f$, которая определена на множестве $X$ и принимает значения в множестве $Y$, то есть, функция $f$ отображает множество $X$ в $Y$, то

• этот факт коротко записывают в виде $f\colon X\to Y$ или $X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y$.
• область определения функции $f$ (множество $X$) обозначается $D(f)$, или $\mathrm {dom} \,f$;
• область значений функции $f$ (множество $Y$) обозначается $R(f)$ ($E(f)$), или $\mathrm {cod} \,f$ ($\mathrm {ran} \,f$).

Наличие функциональной зависимости между элементом $x\in X$ и элементом $y\in Y$

• наиболее часто обозначается в виде равенства $y=f(x)$;
• реже используется обозначение без скобок $y=fx$ или $y=xf$,
• а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: $y=(f,x)$ или $y=(x,f)$;
• так же существует и операторное обозначение $y=x^{f}$, которое можно встретить в общей алгебре.

Иногда можно встретить и стрелочные обозначения функций, например $x\to y$. Однако, уже попытка записать квадратичную зависимость в виде $x\to x^{2}$ рождает проблемы.

В некотором смысле, решением вопроса явилось введение $\lambda$-исчисления Чёрча, при помощи которого квадратичная зависимость описывается наиболее просто:

$\lambda x\colon x^{2}$,

что уже не потребует никаких дополнительных пояснений.

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Если множество $X$ представляет собой декартово произведение множеств $X_{1},\;X_{2},\;\ldots ,\;X_{n}$, тогда отображение $f\colon X\to Y$ оказывается $n$-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора $x=\left\{(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\right\}$ называются аргументами (данной $n$-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

$x_{i}\in X_{i}$ где $i={\overline {1,n}}$.

В этом случае $y=f(x)$ означает, что $y=f\left\{(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\right\}$.

Связанные определения

Сужение и продолжение функции

Пусть дано отображение $f\colon X\to Y$ и $M\subset X$.

Функция $g\colon M\to Y$, которая принимает на $M$ те же значения, что и функция $f$, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции $f$ на множество $M$.

Сужение функции $f$ на множество $M$ обозначается как $f{\big |}_{M}$.

Если функция $g\colon M\to Y$ такова, что она является сужением для некоторой функции $f\colon X\to Y$, то функция $f$, в свою очередь, называется продолжением функции $g$ на множество $X$.

Образ и прообраз (при отображении)

Элемент $y=f(x)$, который сопоставлен элементу $x$, называется образом элемента (точки) $x$ (при отображении $f$).

Если взять целое подмножество $A$ области определения функции $f$, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества $A$, а именно подмножество области значений (функции $f$) вида

$f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}$,

которое, называется образом множества $A$ (при отображении $f$). Это множество иногда обозначается как $f[A]$ или $A^{f}$.

Наоборот, взяв некоторое подмножество $B$ области значений функции $f$, можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции $f$), чьи образы попадают в множество $B$, а именно — множество вида

$f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}$,

которое называется (полным) прообразом множества $B$ (при отображении $f$).

В том частном случае, когда множество $B$ состоит из одного элемента, скажем, $B=\{y\}$, множество $f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}$ имеет более простое обозначение $f^{-1}(y)$.

Тождественное отображение

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование $f\colon X\to X$, которое сопоставляет каждой точке $x$ множества $X$ её саму или, что тоже самое,

$f(x)=x$ для каждого $x\in X$,

называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: $id_{X}$ или, проще, $id$ (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичный»).

Другое обозначение тождественного преобразования — $1_{X}$. Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве $X$. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

Композиция отображений

Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ — два заданных отображения таких, что область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения. Тогда для всякого $x\in X$ однозначно определяется элемент $y\in Y$ такой, что $y=f(x)$, но для этого самого $y$ однозначно определяется элемент $z\in Z$ такой, что $z=g(y)$. То есть, для всякого $x\in X$ однозначно определяется элемент $z\in Z$ такой, что $z=g(f(x))$. Другими словами, определено отображение $h$ такое, что

$h(x)=g(f(x))$ для всякого $x\in X$.

Это отображение называется композицией отображений $f$ и $g$ и обозначается

• либо $f\cdot g$ или $f\cdot g$,
• либо $g\circ f$ (именно в таком порядке!), что является наиболее употребительным.

Обратное отображение

Если отображение $f\colon X\to Y$ является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то определено отображение $f^{-1}\colon Y\to X$, у которого

• область определения (множество $Y$) совпадает с областью значений отображения $f$ ;
• область значений (множество $X$) совпадает с областью определения отображения $f$;
• $x=f^{-1}(y)$ тогда и только тогда, когда $x=f^{-1}(y)$.

Такое отображение называется обратным по отношению к отображению $f$.

Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым.

В терминах композиции функции, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: $f^{-1}\circ f=id_{X}$ и $f\circ f^{-1}=id_{Y}$.

Свойства

Пусть задана функция $f\colon X\to Y$, где $X$ и $Y$ — данные множества, причём $X=domf$. Каждая такая функция может обладать некоторыми свойствами, описание которых приведено ниже.

Образ и прообраз при отображении

Взятие образа

Положим, $A$ и $B$ — подмножества области определения. Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора $f$) обладает следующими свойствами:

• $f(\varnothing )=\varnothing$;
• $A\neq \varnothing \Rightarrow f(A)\neq \varnothing$;
• $A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)$.

Далее

• образ объединения равен объединению образов: $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$;
• образ пересечения является подмножеством пересечения образов $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$.

Последние два свойства, вообще говоря, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

Взятие прообраза

Положим, $A$ и $B$ — подмножества множества $Y$.

По аналогии с взятием образа, взятие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двумя очевидными свойствами:

• прообраз объединения равен объединению прообразов: $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$;
• прообраз пересечения равен пересечению прообразов $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$.

Данные свойства, также, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

В случае, если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

• образ пересечения равен пересечению образов: $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.

Поведение функций

Сюръективность

Основная статья: Сюръекция

Функция $f$ называется сюръективной (или, коротко, сюръекция), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен, хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция $f$ сюръективна, если образ множества $X$ при отображении совпадает с множеством $Y$: $f[X]=Y$.

Такое отображение, называется ещё отображением на.

Если условие сюръективности нарушается, что такое отображение называют отображением в.

Инъективность

Основная статья: Инъекция (математика)

Функция $f$ называется инъективной (или, коротко, инъекция), если каждому элементу множества $X$ сопоставлен один и только один элемент множества $Y$. Более формально, функция $f$ инъективна, если для любых двух точек $x_{1}\in X$ $x_{2}\in X$ таких, что $f(x_{1})=f(x_{2})$, непременно выполняется $x_{1}=x_{2}$.

Биективность

Основная статья: Биекция

Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективнной.

Примеры

В зависимости от того, какова природа области определения и области значений, различают случаи, когда эти области — это:

• абстрактные множества — множества, без какой-либо дополнительной структуры;
• множества, которые наделены некоторой структурой.

В первом случае рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:

• конечные множества — здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
• счётные множества — множества эквивалентные множеству натуральных чисел;
• множества мощности континуума (например, отрезок действительной прямой или сама действительная прямая).

В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:

• конечные функции — отображения конечных множеств;
• последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
• континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

Во втором случае, основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура и то, что происходит с этой структурой при отображении: если существует взаимно однозначное отображение одной структуры в другую, что при отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует великое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

• структура порядка — частичный или линейный порядок.
• алгебраическая структура — группоид, полугруппа, группа, кольцо, тело, область целостности или поле.
• структура метрического пространства — здесь задаётся функция расстояния;
• структура евклидового пространства — здесь задаётся скалярное произведение;
• структура топологического пространства — здесь задаётся совокупность т.н. «открытых множеств»;
• структура измеримого пространства — здесь задаётся функция (мера), которая действует на подмножествах данного пространства.

Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах заданных на множествах структурах. Например, свойство непрерывности, требует задания топологической структуры. .

Вариации и обобщения

Многозначные функции

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Не смотря на это, нередко, можно услышать про т.н. «многозначные» функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой само является семейством множеств.

Пусть $f\colon X\to \mathbb {B}$, где $\mathbb {B}$ — семейство подмножеств множества $Y$. Тогда $f(x)$будет множеством для всякого $x\in X$.

См. также

• Композиция функций
• График функции
• Сюръективность
• Инъективность
• Биективность
• Функция с множеством значений {0, 1}
• Функциональное уравнение
• Алгоритм
• Уравнение
• Многозначная функция

Литература

1. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
2. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
3. Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
4. В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
5. Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.