Участник:Черный Дракон/Песочница

Теорема Мюрхеда

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$

$T_{\alpha }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ - многочлен из $n!$ одночленов, получаемых всевозможными перестановками степеней $\alpha$ и переменных $x$

Например:

$T_{(2,0)}(a,b)=a^{3}+b^{3}$

$T_{(3,1)}(a,b)=a^{3}b+ab^{3}$

$T_{(2,1,1)}(a,b,c)=2a^{2}bc+2ab^{2}c+2abc^{2}$

Ряд $\alpha$ мажорирует ряд $\beta$ $(\alpha \succ \beta )$, если:

$1)\quad \forall i\leqslant n\quad \alpha _{i}>\alpha _{i+1}$

$2)\quad \forall i\leqslant n\quad \beta _{i}>\beta _{i+1}$

$3)\quad \forall k<n\quad \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}\geqslant \sum _{i=1}^{k}\beta _{i}$

$4)\quad \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}$

Например:

$(3,0)\succ (2,1)$

$(4,1,0)\succ (3,2,0)\succ (3,1,1)$

$(3,1)\not \succ (2,1)$

$(2,1)\not \succ (3,0)$

Теорема Мюрхеда: $(\alpha \succ \beta )\land (\forall x_{i}\geqslant 0)\Rightarrow (T_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{n})\geqslant T_{\beta }(x_{1},\ldots ,x_{n}))$

Например:

$(2,0)\succ (1,1)\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$

$(3,0,0)\succ (1,1,1)\Rightarrow 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geqslant 6abc\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant 3abc$

$(5,1)\succ (3,3)\Rightarrow a^{5}b+ab^{5}\geqslant 2a^{3}b^{3}$