Алгебра Ли

А́лгебра Ли — объект абстрактной алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство ${\mathfrak {L}}$ над полем $K$, снабжённое билинейным отображением

${\mathfrak {L}}^{2}\to {\mathfrak {L}},\ \ (x,y)\mapsto [x,y],$

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

• $[x,x]=0$;
• $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания

• Если характеристика поля $\mathrm {char} (K)\neq 2$, то тождество $[x,x]=0$ эквивалентно антикоммутативности $[x,y]+[y,x]=0$.
• Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
• Иногда в определении алгебры Ли векторное пространство заменяют на унитарный K-модуль (модуль над коммутативным кольцом с единицей).

Примеры

3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли

Если $V$ — конечномерное векторное пространство над $K$ ($\mathrm {dim} \;V=n$), то множество его линейных преобразований $\mathrm {End} \;V$ — также векторное пространство над $K$. Оно имеет размерность $\mathrm {dim} (\mathrm {End} \;V)=n^{2}$ и может быть представлено как пространство матриц $n\times n$. В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой $[x,y]=xy-yx$. Пространство $\mathrm {End} \;V$ с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают ${\mathfrak {gl}}\;(V)$. Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение ${\mathfrak {gl}}\;(V)$. Любая подалгебра в ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле

Пусть ${\mathfrak {A}}$ — произвольная ассоциативная алгебра над $K$ с умножением: $(x,y)$ → $xy$. Она обладает естественной структурой алгебры Ли над $K$, если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: $[x,y]=xy-yx$, это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли, может быть описана несколькими эквивавлентными способами:

• Используя производную Ли от поля Y по направлению поля X

$[X,Y]\equiv {\mathcal {L}}_{X}Y$.

• Если на многообразии задана локальная система координат $(t_{1},...,t_{n})$, то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен

$[X,Y]^{i}=X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i},$

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

$\partial _{j}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{j}}}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})$,

$\partial _{j}X^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{j}}}X^{i}(t_{1},...,t_{n})$

частные производные от функций $Y^{i}(t_{1},...,t_{n}),X^{i}(t_{1},...,t_{n})$ вдоль направлений t_j.

• выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать:

$[X,Y]=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X$

где X, Y — векторные поля, а $\nabla _{X}$ — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями данными выше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

• векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и значит задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

$[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]\Longleftrightarrow {\mathfrak {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathfrak {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathfrak {L}}_{X}Z]$

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли

Дифференцированием в алгебре ${\mathfrak {A}}$ называется линейное отображение $\delta :{\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}$, удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения $\delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b$. Совокупность всех дифференцирований $\operatorname {Der} \;{\mathfrak {A}}$ является векторным подпространством в $\operatorname {End} \;{\mathfrak {A}}$. Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому $\operatorname {Der} \;{\mathfrak {A}}$ — подалгебра в ${\mathfrak {gl(A)}}$.

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли $L$. В алгебрах Ли некоторые дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры $L$ вида $\operatorname {ad} \;x\colon y\to [x,y];x,y\in L$. Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение $L\to \operatorname {Der} \;L;\;x\mapsto \operatorname {ad} \;x$ называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в $\operatorname {Der} (L)$ подалгебру $\operatorname {ad} \;L$, изоморфную факторалгебре $L/Z(L)$ алгебры $L$ по её центру $Z(L):=\{x\in L\mid [x,y]=0;\forall y\in L\}$.

См. также

• Группа Ли
• Производная Ли
• Дифференциальная геометрия и топология
• Коммутатор операторов

Литература

• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли, — М.: Мир, 1969.
• Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений».
• Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. — М.: ИЛ, 1962 (djvu).
• Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960 (djvu)
• Бурбаки Н. Группы и Алгебры Ли. — М.: Мир, 1986. — 174 с..
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003