Асимптотическая кривая: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
мНет описания правки
мНет описания правки
Строка 18: Строка 18:
* При [[проективное преобразование|проективном преобразовании]] <math>\pi</math> пространства асимптотическиe кривыe поверхности <math>F</math> переходят в асимптотическиe кривыe преобразованной поверхности <math>\pi(F)</math>.
* При [[проективное преобразование|проективном преобразовании]] <math>\pi</math> пространства асимптотическиe кривыe поверхности <math>F</math> переходят в асимптотическиe кривыe преобразованной поверхности <math>\pi(F)</math>.


[[Category:Дифференциальная геометрия и топология]]
[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]
[[Категория:Кривые]]



[[en:Asymptotic curve]]
[[en:Asymptotic curve]]

Версия от 12:47, 5 августа 2005

Асимптотическая кривая — кривая на регулярной поверхности , нормальная кривизна которой вдоль равна нулю. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением:

где вторая фундаментальная форма поверхности.

Свойства

существует) совпадает с касательной плоскостью к F в той же точке.

  • Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности (теорема Бельтрами—Эннепера).
  • Прямолинейный отрезок на всегда является асимптотической кривой.
  • Параболическая кривая всегда является асимптотической кривой. Например,
    • параллель тора, разделяющаяобласти с гауссовой кривизной разных знаков
    • ребро возврата на псевдосфере.
  • Через каждую точку параболической области (где , но ) проходит единственная асимптотическая кривая, совпадающая с прямолинейной образующей.
  • Через каждую точку гиперболической области (где ) проходят две и только две асимптотические кривые, составляющие так называемую асимптотическую сеть.
    • На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырехугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над 2\pi (формула Хаццидакиса).
  • При проективном преобразовании пространства асимптотическиe кривыe поверхности переходят в асимптотическиe кривыe преобразованной поверхности .