Метод Гаусса (численное интегрирование)

Метод Гаусса

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (1 — методы правых и левых прямоугольников, 2 — методы средних прямоугольников и трапеций, 3 — метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции $f(x)$, то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 2-го, а 3-го порядка точности:

$I\approx {\frac {b-a}{2}}\left(f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {b-a}{2{\sqrt {3}}}}\right)+f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2{\sqrt {3}}}}\right)\right)$.

В общем случае, используя $n$ точек, можно получить метод с порядком точности $2n-1$. Значения узлов метода Гаусса по $n$ точкам являются корнями полинома Лежандра степени $n$.

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

Метод Гаусса-Кронрода

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

$I\approx \sum _{i=1}^{n}a_{i}\,f(x_{i})+\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}\,f(y_{i})$,

где $x_{i}$ — узлы метода Гаусса по $n$ точкам, а $3n+2$ параметров $a_{i}$, $b_{i}$, $y_{i}$ подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен $3n+1$.

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

$\Delta =\left(200|I-I_{G}|\right)^{1.5}$,

где $I_{G}$ — приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по $n$ точкам. Библиотеки gsl и SLATEC для вычисления определённых интегралов содержат подпрограммы, использующие метод Гаусса-Кронрода по 15, 21, 31, 41, 51 и 61 точкам.