Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность мощности (СПМ) в физике и обработке сигналов — функция, задающая распределение мощности сигнала по частотам. Её значение имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии.

Формальное определение

Пусть $x(t)$ — сигнал, рассматриваемый на промежутке времени $[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}]$. Тогда энергия сигнала на данном интервале равна $E_{T}=\int \limits _{-T/2}^{T/2}x^{2}(t)dt$ Тогда $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x(t){\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega dt$=${\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }F(j\omega )\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{j\omega t}dtd\omega$ = ${\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }F(j\omega )F^{*}(j\omega )d\omega$ = ${\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|F_{T}(j\omega )|^{2}d\omega$, где $F_{T}(j\omega )$ — спектральная функция сигнала. При $T\to +\infty$, средняя мощность $W={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\lim _{T\to +\infty }{\frac {|F_{T}(j\omega )|^{2}}{T}}d\omega$. $S(\omega )=\lim _{T\to +\infty }{\frac {|F_{T}(j\omega )|^{2}}{T}}$ — спектральная плотность мощности (функция плотности спектра мощности).

Спектр плотности мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектры плотности мощности.

Методы оценки

Оценка СПМ может выполняться методом преобразования Фурье, предполагающего получение спектра в области частот посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ). До изобретения алгоритмов БПФ этот метод из-за громоздкости прямого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) практически не использовался. Предпочтение отдавалось другим методам, в частности, методу корреляционной функции (Блэкмена-Тьюки) и периодограммному методу.

См. также

• Спектральная плотность
• Случайный процесс
• Спектр
• Преобразование Фурье
• Амплитудно-частотная характеристика
• Спектральная плотность излучения

Литература

• Цифровая обработка сигналов: Справочник. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. — М.: Радио и связь, 1985.
• Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. Отнес Р., Эноксон Л. — М.: Мир, 1982.