Ковариантный вектор

Ковариа́нтным ве́ктором, или кове́ктором называется вектор пространства сопряжённого к заданному векторному пространству. В случае, если в исходном пространстве выбран базис, ему соответствует двойственный базис сопряжённого пространства, и естественно задавать ковектор его координатами в разложении по этому базису. Ковектор является частным случаем тензора типа (1,0).

В дифференциальной геометрии (и в соответствующих разделах физики), ковектор — элемент кокасательного пространства к многообразию в какой-либо точке. Ковекторное поле, заданное в какой-либо области на многообразии, называется 1-формой (заданной в этой области).

Введение

Говоря проще, ковариантный вектор — это такой объект, который действует на обычный контравариантный вектор и в результате даёт число — скалярное произведение этих векторов с обычными свойствами линейности. Размерность ковекторов совпадает с размерностью их контравариантных аналогов.

• Это определение согласовано с определением ковариантного тензора валентности 1 (см. Тензор), каковым и является ковариантный вектор (ковектор) в качестве частного случая тензора.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта — 1-формы или обычного вектора, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Ковариантные координаты любого объекта принято записывать с нижним индексом, а также — в матричных обозначениях — в виде вектора-строки (в отличие от записи с верхним индексом и вектора-столбца для контравариантных координат, естественных для представления контравариантного вектора).

• Возможно, было бы лучше строго придерживаться различия в понимании терминов «ковектор» и «ковариантный вектор», понимая под первым объект (вектор ко-касательного пространства — 1-форму), а под вторым — представление с нижним индексом любого объекта, однако с одной стороны — изоморфизм между ко- и просто касательным пространствами в случае (псевдо-)римановых многообразий всё равно размывает формальную границу в этом самом распространённом случае, а с другой стороны — традиция применения термина к тензорам достаточно устойчива. Кроме того, подъём-опускание индекса возможны всё-таки не во всех случаях, а при этом свойства представления будут жёстко закреплены за самим объектом.

Простое «традиционное» определение ковариантного вектора из учебника Ландау:

«Ковариантным вектором назы­вается всякая совокупность [равного размерности пространства количества] величин, которые при преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра».

Под производными от скаляра имеются тут в виду производные от скалярной функции по (контравариантным) координатам:

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial x^{2}}},\dots \right),$

а вектор, согласно «традиционному» подходу определяется как набор его координат, изменяющихся определенным образом при замене базиса (системы координат).

Как видим, формально это определение описывает ковариантное представление, но содержательно описывает в качестве образца ковариантного вектора ковектор — 1-форму — градиент скаляра — для которой (как и для остальных 1-форм) именно это представление естественно.

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

$\ v_{i}=g_{ij}v^{j}$

$\ v^{i}=g^{ij}v_{j}$

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов, например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам $dx^{i}$) — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр $\ d\varphi =(\partial _{i}\varphi )\,dx^{i}$ получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора $\ \partial _{i}\varphi$, являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором $\ dx^{i}$, являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой $\ dx^{i}$ свёртывается с помощью метрики: $\ (dx)^{2}=g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}$, что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности — контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения $\ dx^{i}$, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с $\ dx^{i}$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы), в противном случае (свёртка требует участия метрики) — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для ковектора же — ковариантное.

Ковекторные поля -- 1-формы

Пусть $U\subseteq \mathbb {R}$ - область. Рассмотрим функцию $f:U\to \mathbb {R}$, $f\in C^{1}$. Дифференциал df функции f, в точке $x_{0}\in U$, определён как линейное отображение переменных dx. Имеем $df(x_{0},dx):dx\mapsto f'(x_{0})dx$. (Значение символа dx таково: он есть просто аргументом, независимой переменной, функции df.) Поэтому отображение $x\mapsto df(x,dx)$ отображает каждый x в линейный функционал df(x,dx).

1-форма называется замкнутой, если она дифференцируемая, а её внешняя производная везде равна нулю.

См. также

• Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством
• Ковариантность и контравариантность
• Контравариантный вектор

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля