Кристаллографическая группа

Кристаллографическая группа — дискретная группа движений $n$-мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область.

Теорема Бибербаха

Две кристаллографические группы считаются эквивалентными, если они сопряжены в группе аффинных преобразований евклидова пространства.

С точностью до эквивалентности имеется 17 плоских и 219 пространственных кристаллографических групп; если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряжённости при помощи аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию, то их будет 230. В размерности 4 существует 4894 кристаллографических групп с сохранением ориентации, или 4783 без сохранения ориентации. Число кристаллографических групп $n$-мерного пространства с сохранением ориентации или без даётся последовательностями A004029 и A006227.

Теоремы Бибербаха

1. Всякая $n$-мерная кристаллографическая группа $\Gamma$ содержит $n$ линейно независимых параллельных переносов; группа $G$ линейных частей преобразований (то есть образ $\Gamma$ в $GL_{n}$) конечна.
2. Две кристаллографические группы эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны как абстрактные группы.
3. При любом $n$ имеется лишь конечное число $n$-мерных кристаллографических групп, рассматриваемых с точностью до эквивалентности (что является решением 18-й проблемы Гильберта).

Теорема позволяет дать следующее описание строения кристаллографических групп как абстрактных групп: Пусть $L$ — совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группе $\Gamma$. Тогда $L$ — нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная $\mathbb {Z} ^{n}$ и совпадающая со своим централизатором в $\Gamma$. Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группе $\Gamma$ является и достаточным условием того, чтобы группа $\Gamma$ была изоморфна кристаллографической группе.

Группа $G$ линейных частей кристаллографической группы $\Gamma$ сохраняет решётку $L$; иными словами, в базисе решетки $L$ преобразования из $G$ записываются целочисленными матрицами.

Возможные симметрии

В 3-мерных кристаллографических группах всегда присутствуют параллельные переносы, могут присутствовать повороты вокруг осей симметрии на углы 180° (ось симметрии 2-го порядка), 120° (3-го порядка), 90° (4-го порядка), 60° (6-го порядка), отражения относительно плоскости симметрии, отражения относительно центра симметрии (центра инверсии), а также сложные операции симметрии, а именно повороты вокруг осей с одновременным переносом на некоторый вектор в направлении этой оси (так называемая винтовая ось) и отражение относительно плоскости с одновременным сдвигом на некоторый вектор, параллельный этой плоскости (так называемая плоскость скользящего отражения).

Оси симметрии L3, L4, L6 называются осями симметрии высшего порядка.

Обозначения

Нумерация

Кристаллографические (пространственные) группы со всеми присущими им элеменатами симметрии сведены в международном справочнике «Международные кристаллографические таблицы» (англ. International Tables for Crystallography), выпускаемых Международным союзом кристаллографии. Принято использование нумерации, приведённой в данном справочнике. Группы нумеруются с 1 по 230 в порядке увеличения симметрии.

Символика Германа — Могена

Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. Символ решётки Браве обозначает наличие дополнительных узлов трансляции внутри элементарной ячейки: P (primitive) — примитивная ячейка; A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) — дополнительный узел в центре грани A, B или C соответственно; I (I-centered) — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки), R (R-centered) — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали элементарной ячейки), F (F-centered) — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).

Международный символ точечной группы в общем случае формируется из трёх символов, обозначающих элементы симметрии, отвечающие трём основным направлениям в кристаллической ячейке. Под элементом симметрии, отвечающим направлению, понимается либо ось симметрии, проходящая по этому направлению, либо перпендикулярная ему плоскость симметрии, либо и то, и другое (в этом случае они записываются через дробь, например, 2/c — ось симметрии 2-го порядка и перпендикулярная ей плоскость скользящего отражения со сдвигом в направлении c). Под основными направлениями понимают:

• направления базисных векторов ячейки в случае триклинной, моноклинной и ромбической сингонии;
• направление оси 4-го порядка, направление одного из базисных векторов в основании элементарной ячейки и направление по диагонали основания ячейки в случае тетрагональной сингонии;
• направление оси 3-го порядка или 6-го порядка, направление одного из базисных векторов в основании элементарной ячейки и направление вектора по диагонали элементарной ячейки под углом 60° к предыдущему в случае гексагональной сингонии (сюда же включается тригональная сингония, которая в этом случае приводится к гексагональной ориентации элементарной ячейки);
• направление одного из базисных векторов, направление по пространственной диагонали элементарной ячейки и направление по биссектрисе угла между базисными векторами.

Символы Германа-Могена обычно сокращают, удаляя обозначения отсутствующих элементов симметрии по отдельным направлениям, когда это не создаёт неоднозначности, например, записывают P4 вместо P411. Также при отсутствии неоднозначности опускают обозначения осей второго порядка, которым перпендикулярны плоскости симметрии, например, заменяют $C{\frac {2}{m}}{\frac {2}{m}}{\frac {2}{m}}$ на $Cmmm$.

Символ Шёнфлиса

Символ Шёнфлиса задаёт класс симметрии (основной символ и нижний индекс) и условный номер группы в пределах этого класса (верхний индекс).

• С_n, циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

• С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.

• C_v (от нем. vertical — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.

• C_h (от нем. horisontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.

• S (от нем. spiegel — зеркало) — для плоскости неопределенной ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии

• O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии — обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии, или буквой Т — если в группе отсутствуют диагональные оси симметрии.

• D_n — является группой С_n с добавочной осью симметрии второго порядка, перпендикулярной исходной оси.

• D_nh также имеет имеет горизонтальную плоскость симметрии.
• D_nv также имеет имеет вертикальную плоскость симметрии.

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

История

Происхождение теории кристаллографических групп связано с изучением симметрии орнаментов ($n=2$) и кристаллических структур ($n=3$). Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трёхмерных) кристаллографических групп была получена независимо Фёдоровым (1885), (1891) и Барлоу (1894). Основные результаты для многомерных кристаллографических групп были получены .

См. также

• Список кристаллографических групп

Литература

• Дж. Вольф, Пространства постоянной кривизны. Перевод с английского. Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1982.
• Ю.К. Егоров-Тисменко, Г.П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, М. ГЕОС, 2000 (доступно on-line http://students.web.ru/db/msg.html?mid=1163834&uri=index.htm)

Ссылки

• International Tables for Crystallography
• Статья «Пространственная группа» в Большой советской энциклопедии