Континуум-гипотеза

В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом:

Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Шаблон:/рамка Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Давид Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта. В 1940 году Курт Гёдель доказал в предположении непротиворечивости системы аксиом Цермело-Френкеля (ZF), что, исходя из аксиом теории множеств вместе с аксиомой выбора, континуум-гипотезу нельзя опровергнуть; а в 1963 году американский математик Паул Коэн доказал (также в предположении непротиворечивости ZF), что континуум-гипотезу нельзя доказать, исходя из тех же аксиом. Таким образом, континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZF. Разделение по отрицанию или подтверждению континуум-гипотезы привело к созданию так называемой канторовской теории множеств, которая считает, что мощность множества вещественных чисел или континуума $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}$ равна $\aleph _{1}$ и неканторовской теории множеств, в которой это неверно. В последнем случае можно доказать, что между c и $\aleph _{1}$ заключено бесконечно много кардинальных чисел. Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого бесконечного множества S не существует таких множеств, кардинальное число которых больше, чем у S, но меньше, чем у множества всех его подмножеств $2^{S}$. Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело-Френкеля, и из неё следует аксиома выбора. Ссылки Континуум-гипотеза БСЭ