Теорема Гюйгенса — Штейнера

Иллюстрация теоремы для момента площади.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела $J$ относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела $J_{C}$ относительно известной оси и произведения массы тела $m$ на квадрат расстояния $d$ между осями:

$J=J_{C}+md^{2}\,\!$

где

$J_{C}\,\!$ — известный момент инерции относительно известной оси,

$J\,\!$ — искомый момент инерции,

$m\,\!$ — масса тела,

$d\,\!$ — расстояние между осями (известной и относительно которой необходимо найти момент инерции).

Вывод

Момент инерции, по определению:

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r'}}_{i})^{2}\,\!$

Радиус-вектор ${\vec {r'}}_{i}\,\!$ можно расписать как разность двух векторов:

${\vec {r'}}_{i}={\vec {r}}_{i}-{\vec {d}}\,\!$,

где ${\vec {d}}$ — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}-2\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}{\vec {d}}+\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {d}})^{2}\,\!$

Вынося за сумму ${\vec {d}}$, получим:

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}-2{\vec {d}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\!$

Суммарный импульс системы целого тела будет равен нулю:

$\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}=0\,\!$

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\!$

Откуда и следует искомая формула:

$J=J_{C}+md^{2}\,\!$,

где $J_{C}$ — известный момент инерции относительно определённой оси.

Пример

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью $C$) равен

$J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.$

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

$J=J_{C}+md^{2}\,\!$

где $d$ — расстояние между искомой осью и осью $C$. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле $d=L/2$:

$J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.$

Пересчёт тензора инерции

Теорема Гюйнеса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор $\mathbf {J} _{ij}$ относительно произвольной точки из тензора $\mathbf {I} _{ij}$ относительно центра масс. Пусть $\mathbf {a}$ — смещение от центра масс, тогда

$\mathbf {J} _{ij}=\mathbf {I} _{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),$

где

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {\hat {x}} +a_{2}\mathbf {\hat {y}} +a_{3}\mathbf {\hat {z}}$ — вектор смещения от центра масс, а $\delta _{ij}$ — символ Кронекера.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при $i=j$) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.