Интегрированный временной ряд

Интегрированный временной ряд - нестационарный временной ряд, разности некоторого порядка от которого, являются стационарным временным рядом. Такие ряды также называют разностно-стационарными (DS-рядами, Diference Stationary).

Определение

Для определения интегрированных временных рядов необходимо определить класс временных рядов, называемых стационарными относительно тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). Ряд $x_{t}$ называется TS-рядом, если существует некоторая детерминированная функция f(t), такая что разность $x_{t}-f(t)$ является стационарным процессом. В частности, к TS-рядам относятся все стационарные ряды. Однако, многие TS-ряды являются нестационарными. К TS рядам относится, например, также модель линейного (детерминированного) тренда $x_{t}=a+bt+\varepsilon _{t}$ где ошибка модели - стационарный процесс (обычно белый шум).

Временной $X_{t}$ ряд называется интегрированным порядка k (обычно пишут $X_{t}\sim I(k)$), если разности ряда k-го порядка $\vartriangle ^{k}x_{t}$ - являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются TS-рядами. В частности I(0)-это стационарный процесс.

Пример

Рассмотрим пример - процесс случайного блуждания со сносом (дрейфом) - интегрированный процесс первого порядка $I(1)$

$x_{t}=a+x_{t-1}+\varepsilon _{t}$

где случайная ошибка модели - белый шум. Первые разности временного ряда, очевидно, являются стационарными. Представим модель в несколько иной форме:

$x_{t}=a+x_{t-1}+\varepsilon _{t}=a+a+x_{t-2}+\varepsilon _{t-1}+\varepsilon _{t}=a+a+a+x_{t-3}+\varepsilon _{t-2}+\varepsilon _{t-1}+\varepsilon _{t}=...=x_{0}+at+\sum _{i=1}^{t}\varepsilon _{i}$

Таким образом, случайное блуждание с дрейфом внешне похоже на модель линейного тренда с одной очень существенной разницей - дисперсия ошибки модели $V(\sum _{i=1}^{t}\varepsilon _{i})=t\sigma ^{2}$ пропорциональна времени, то есть со временем стремится к бесконечности! Притом, что математическое ожидание случайной ошибки равно нулю! Если даже применить к временному ряду процедуру исключения линейного (детерминированного) тренда, то получим все равно нестационарный процесс - стохастический тренд.