Простая группа

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Полная классификация всех простых конечных групп была получена в 1982.

В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.

В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.

В 1970-х гг. была проведена классификация конечных простых групп — огромный труд десятков математиков, вылившийся в десятки тысяч страниц. Инициаторами и кураторами международного проекта выступили американские учёные Д. Горенстейн и М. Ашбахер. Такие группы разделены на 3 класса: знакопеременные группы, группы Шевалле и спорадические.

Примеры

• Циклическая группа $\mathbb {Z} _{p}$ простого порядка $p$.
• Простой является знакопеременная группа, то есть группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов множества $X$, если мощность $X$ не меньше 5. Эта группа бесконечна, если $X$ бесконечно.
• Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.

Свойства

• Всякая группа вложима в простую группу.

См. также

• Простая группа Ли
• Абелева группа