Гомотетия

Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός — «одинаковый» и θετος — «расположенный») — один из видов преобразований подобия.

Гомотетией c центром O и коэффициентом k ($k\neq 0$) называют преобразование плоскости (или пространства), переводящее точку $X$ в точку $X'$, обладающую тем свойством, что ${\overrightarrow {OX'}}=k{\overrightarrow {OX}}$. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через $H_{O}^{k}$.

Свойства

• Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
• Если коэффициент гомотетии равен -1, то гомотетия является центральной симметрией.
• Как и любое преобразование подобия, гомотетия преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
• Как и любое преобразование подобия, гомотетия сохраняет величины углов между кривыми.

Вариации и обобщения

• Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берется композиция, несущественен, так как $R_{O}^{\varphi }\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{k}\circ R_{O}^{\varphi }$. Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как $R_{O}^{180^{\circ }}\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{-k}$.

См. также

• Аффинное преобразование
• Коллинеарность
• Непрерывное отображение
• Отношение направленных отрезков
• Подобие