Атлас (топология): различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Fizik1987 (обсуждение | вклад) |
Tosha (обсуждение | вклад) откат |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Карта''' и '''атлас''' — понятия [[дифференциальная геометрия|дифференциальной геометрии]], позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру. |
|||
{{другие значения|Атлас}} |
|||
В [[Математика|математике]], в частности в [[Топология|топологии]], многообразия описываются с помощью '''атласов'''. Атлас состоит из отдельных ''карт'', которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова карта и атлас имеют свою обычное значение. Обобщая привычное понятие атласа, можно получить формальное определение многообразия. |
|||
== |
== Определения == |
||
Пусть <math>K</math> — числовое [[Поле (алгебра)|поле]] (например <math>\mathbb{R}</math> или <math>\mathbb{C}</math>), |
|||
<math>X</math> — [[топологическое пространство]]. |
|||
* '''Карта''' — это пара <math>(U,f)</math>, где |
|||
определение атласа зависит от определения ''карты''. '''Карта''' для [[Топологическое пространство|топологического пространства]] ''M'' это [[гомеоморфизм]] <math>\varphi</math> из [[Открытое множество|открытого подмножества]] ''U'' ⊂ ''M'' в открытое подмножество [[Евклидовое пространство|евклидового пространства]]. Карта по традиции записывается, как упорядоченная пара <math> (U, \varphi)</math>. |
|||
: <math>U</math> — [[открытое множество]] в <math>X</math> |
|||
: <math>f</math> — [[гомеоморфизм]] из <math>U</math> в [[открытое множество]] в <math>K^n</math> |
|||
* Если области определения двух карт <math>(U_1,f_1)</math> и <math>(U_2,f_2)</math> пересекаются (<math>U_1 \cap U_2 \neq \emptyset</math>), то между множествами <math>f_1^{-1}(U_2)</math> и <math>f_2^{-1}(U_1)</math> имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые '''функциями сличения''' или '''отображением склейки''' : |
|||
== Формальное определение атласа == |
|||
*: <math> |
|||
\begin{matrix} |
|||
f_{12}= f_1\circ f_2^{-1}|_{f_2(U_1 \cap U_2)} &: \ f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 \cap U_2) \\ |
|||
f_{21}= f_2\circ f_1^{-1}|_{f_1(U_1 \cap U_2)} &: \ f_1(U_1 \cap U_2) \to f_2(U_1 \cap U_2) |
|||
\end{matrix} |
|||
</math> |
|||
* '''Атлас''' — это множество согласованных карт <math>\{(U_\alpha,f_\alpha)\}</math>, <math>\alpha\in\mathcal A</math>, такое, что <math>\{U_\alpha\}</math> образует [[Покрытие (математика)|покрытие]] пространства <math>X</math>. Здесь <math>\mathcal A</math> — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса <math>C^k</math>) или аналитическим, если функции замены координат <math>f_{\alpha_1\alpha_2}</math> для всех карт гладкие (класса <math>C^k</math>) или аналитические. |
* '''Атлас''' — это множество согласованных карт <math>\{(U_\alpha,f_\alpha)\}</math>, <math>\alpha\in\mathcal A</math>, такое, что <math>\{U_\alpha\}</math> образует [[Покрытие (математика)|покрытие]] пространства <math>X</math>. Здесь <math>\mathcal A</math> — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса <math>C^k</math>) или аналитическим, если функции замены координат <math>f_{\alpha_1\alpha_2}</math> для всех карт гладкие (класса <math>C^k</math>) или аналитические. |
||
| Строка 12: | Строка 21: | ||
== Связанные определения == |
== Связанные определения == |
||
* Два гладких (аналитических) атласа называются ''согласованными'', если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом. |
* Два гладких (аналитических) атласа называются ''согласованными'', если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом. |
||
==Литература== |
|||
{{refbegin}} |
|||
*{{cite book | first = John M. | last = Lee | year = 2006 | title = Introduction to Smooth Manifolds | publisher = Springer-Verlag | isbn = 978-0-387-95448-6}} |
|||
*{{cite book | first = Mark R. | last = Sepanski | year = 2007 | title = Compact Lie Groups | publisher = Springer-Verlag | isbn = 978-0-387-30263-8}} |
|||
{{refend}} |
|||
==Ссылки== |
|||
*[http://mathworld.wolfram.com/Atlas.html Atlas] by Rowland, Todd |
|||
[[Категория:Многообразия]] |
[[Категория:Многообразия]] |
||
[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]] |
[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]] |
||
[[ca:Atles (topologia)]] |
[[ca:Atles (topologia)]] |
||
Версия от 04:03, 13 ноября 2012
Карта и атлас — понятия дифференциальной геометрии, позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру.
Определения
Пусть — числовое поле (например или ), — топологическое пространство.
- Карта — это пара , где
- — открытое множество в
- — гомеоморфизм из в открытое множество в
- Если области определения двух карт и пересекаются (), то между множествами и имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :
- Атлас — это множество согласованных карт , , такое, что образует покрытие пространства . Здесь — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса ) или аналитическим, если функции замены координат для всех карт гладкие (класса ) или аналитические.
Связанные определения
- Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.