Аффинное пространство

Аффинное пространство — служит обобщением аффинных свойств евклидова пространства.

Во многом схоже с векторным пространством; однако для аффинного пространства, в отличие от векторного, характерно то, что все точки являются равноправными (в частности, в нём не определено понятие нулевой точки, или начала отсчёта).

Основы теории теории аффинных пространств можно найти в учебниках Кострикина и Манина (1986), Беклемишева (1998), Шафаревича и Ремизова (2009), а также в монографии Болтянского (1973), главу II Основные понятия многомерной геометрии которой сам автор предлагает рассматривать как отдельную маленькую книгу, содержащую полное построение аффинной и евклидовой (многомерной) геометрии на основе аксиоматики Вейля.

Определение

Аффинное пространство над полем $\mathbb {K}$ — множество $A$ со свободным транзитивным действием аддитивной группы векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {K}$.

Если поле $\mathbb {K}$ не указывается, то предполагается поле действительных чисел.

• Элементы $A$ называются точками аффинного пространства
• Пространство $V$ называется пространством присоединенным к $A$
• Образ действия $v\in V$ на $a\in A$ обозначается $a+v$

• Для двух точек $x,y\in A$ через ${\overrightarrow {xy}}$ обозначается такой вектор из $V$, что $y=x+{\overrightarrow {xy}}$
• Размерность пространства $A$ определяется равной размерности присоединенного пространства $V$.

Обобщения

• Аналогичным образом определяется аффинное пространство над телом.

Связанные определения и свойства

В аффинном пространстве возможно вычитать друг из друга точки и получать векторы так называемого присоединенного пространства; также возможно прибавлять вектор к точке и получать другую точку, но нельзя складывать точки друг с другом.

См. также

• Аффинное подпространство
• Векторное пространство
• Флаг (математика)

Литература

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. 304 с.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1998. 320 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. М.: Физматлит, 2009. 511 с.
• Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973. 446 с.