Кватернионы Гурвица: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Jumpow (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Jumpow (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Переведённая статья|en|Hurwitz quaternion}} |
|||
В [[Математика|математике]] '''кватернионом Гурвица''' (или '''целым числом Гурвица''') называется [[кватернион]], компоненты которого ''либо'' все [[Целое число|целые]], ''либо'' все [[Полуцелое число|полуцелые]] (половины нечетных чисел; смесь целых и полуцелых недопустима). Множество всех кватернионов Гурвица |
В [[Математика|математике]] '''кватернионом Гурвица''' (или '''целым числом Гурвица''') называется [[кватернион]], компоненты которого ''либо'' все [[Целое число|целые]], ''либо'' все [[Полуцелое число|полуцелые]] (половины нечетных чисел; смесь целых и полуцелых недопустима). Множество всех кватернионов Гурвица |
||
Версия от 19:14, 9 марта 2013
В математике кватернионом Гурвица (или целым числом Гурвица) называется кватернион, компоненты которого либо все целые, либо все полуцелые (половины нечетных чисел; смесь целых и полуцелых недопустима). Множество всех кватернионов Гурвица
Можно показать, что H замкнуто относительно умножения и сложения, что делает его подкольцом кольца всех кватернионов.
Кватернион Липшица (или Целое Липшица) - это кватернион, все компоненты которого целые числа. Множество всех кватернионов Липшица
формирует подкольцо в кольце кватернионов Гурвица H.
Как группа, H является cвободной абелевой группой с образующими {½(1+i+j+k), i, j, k}. Она, таким образом, образует решетку в R4. Эта решетка известна как Решетка F4, поскольку она является корневой решеткой полупростой алгебры Ли F4. Кватернион Липшица L образует подрешетку в H.
Группа единиц в L образует кватернионную группу Q = {±1, ±i, ±j, ±k}. Группа единиц в H не является абелевой и образует группу 24-ого порядка, известную как бинарная группа тетраэдра. Эта группа включает в себя 8 элементов Q и 16 кватернионов {½(±1±i±j±k)}, где знаки берутся в любой комбинации. Кватернионная группа является нормальной подгруппой бинарной группы тетраэдра U(H). Элементы U(H), имея норму 1, образуют вершины 24-гранника, вписанного в 3-сферу.
Норма кватерниона Гурвица, заданного формулой , всегда представляет собой целое число. По теореме Лагранжа любое неотрицательное целое число можно представить в виде суммы четырех (или менее) квадратов. Таким образом, любое неотрицательное целое число является нормой некоего кватерниона Липшица(или Гурвица). Целое число Гурвица является простым элементом в том и только в том случае, когда его норма - простое число.
Смотрите также
Ссылки
- John Horton Conway, Derek Alan Smith (2003), On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry, A K Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-134-5