Интегральная показательная функция: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
незначительная правка
незначительная правка
Строка 39: Строка 39:
\operatorname{lim}\limits_{\epsilon\to +0}
\operatorname{lim}\limits_{\epsilon\to +0}
\int\limits_0^{\infty}
\int\limits_0^{\infty}
\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x-i(a+i\epsilon)}. \; (3)
\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+i(a+i\epsilon)}. \; (3)
</math>
</math>



Версия от 20:31, 7 мая 2013

страница в процессе редактирования, пожалуйста, пока ничего не меняйте; собираюсь закончить 2013/05/08 8:00 MSK

Основное определение

Интегральная показательная функцияспециальная функция, определяемая интегралом[1]

где есть постоянная Эйлера. Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (1) сходится в любой точке комплексной плоскости. Следовательно, точка ветвления целиком унаследована функцией от логарифмической функции. Поэтому не будем здесь рассматривать как многозначную аналитическую функцию; вместо этого сразу же зафиксируем главную ветвь (значение) логарифма[2] в (1) и далее будем считать, что – однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение при интегрировании произведения экспоненты на рациональную функцию

В наше время даже многократно проверенным[3] людям вроде Прудникова[4] нельзя доверять (см. ниже), поэтому многие интегралы приходится считать самостоятельно.

Например, (предполагаем, что )

При интеграла (2) не существует. Случай отрицательных веществееных значений следует рассматривать как предельный:

Из (2) и из (3) следует, что

Альтернативное определение

Нередко вместо (1) используется альтернативное [несовместимое с (1)] определение

Определение (2) совместимо с (1) только при отрицательных вещественных значениях аргумента.

Интеграл в смысле главного значения в (2) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (2) на случай комплексных значений x].

См. также

Список литературы

  1. Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения : []. — 2. — 1963.
  2. Заодно фиксируем также и главную ветвь аргумента:
  3. не говоря уже о халтурщиках, работающих в фирмах вроде Wolfram Research.
  4. Прудников, А. П. Интегралы и ряды : [] / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — 2. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Vol. т.1. — P. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.
  • Математический Энциклопедический Словарь, М. 1995, с. 230.