Интегральная показательная функция: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
незначительная правка |
незначительная правка |
||
Строка 52: | Строка 52: | ||
<math> |
<math> |
||
\operatorname{Ei}_1 (x)=\frac12 |
|||
\left[\operatorname{Ei}(x+i0)+\operatorname{Ei}(x-i0)\right] |
\left[\operatorname{Ei}(x+i0)+\operatorname{Ei}(x-i0)\right] |
||
=\gamma+\operatorname{ln}x+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}. |
=\gamma+\operatorname{ln}x+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}. |
Версия от 21:26, 7 мая 2013
страница в процессе редактирования, пожалуйста, пока ничего не меняйте; собираюсь закончить 2013/05/08 8:00 MSK
Основное определение
Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом[1]
где есть постоянная Эйлера. Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (1) сходится в любой точке комплексной плоскости. Следовательно, точка ветвления целиком унаследована функцией от логарифмической функции. Поэтому не будем здесь рассматривать как многозначную аналитическую функцию; вместо этого сразу же зафиксируем главную ветвь (значение) логарифма[2] в (1) и далее будем считать, что – однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.
Возникновение при интегрировании произведения экспоненты на рациональную функцию
В наше время даже многократно проверенным[3] людям вроде Прудникова[4] нельзя доверять (см. ниже), поэтому многие интегралы приходится считать самостоятельно.
Например, (предполагаем, что )
При интеграла (2) не существует. Случай отрицательных веществееных значений следует рассматривать как предельный:
Из (2) и из (3) следует, что при вещественных положительных значениях
где есть т.н. модифицированная интегральная показательная функция [1]:
Альтернативное определение
Нередко вместо (1) используется альтернативное [несовместимое с (1)] определение
Определение (2) совместимо с (1) только при отрицательных вещественных значениях аргумента.
Интеграл в смысле главного значения в (2) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (2) на случай комплексных значений x].
См. также
Список литературы
- ↑ 1 2 Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения : []. — 2. — 1963.
- ↑ Заодно фиксируем также и главную ветвь аргумента:
- ↑ не говоря уже о халтурщиках, работающих в фирмах вроде Wolfram Research.
- ↑ Прудников, А. П. Интегралы и ряды : [] / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — 2. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Vol. т.1. — P. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.