Интегральная показательная функция: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
незначительная правка
незначительная правка
Строка 16: Строка 16:


В качестве простого примера интеграла, сводящегося к
В качестве простого примера интеграла, сводящегося к
интегральной показательной функци рассмотрим
интегральной показательной функции, рассмотрим
(предполагая, что <math>b>0</math>)
(предполагая, что <math>b>0</math>)


Строка 59: Строка 59:
однако же приведённое там выражение, по-видимому, неверно.
однако же приведённое там выражение, по-видимому, неверно.


Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять системам компьютерной алгебры: [[maxima]] честно признается, что не умеет его считать, а [[Mathematica]]
Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять системам компьютерной алгебры: если [[maxima]] честно признается, что не умеет его считать, то [[Mathematica]]
посчитает неправильно.
посчитает неправильно.



Версия от 21:55, 7 мая 2013

Основное определение

Интегральная показательная функцияспециальная функция, определяемая интегралом[1]

где есть постоянная Эйлера. Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (1) сходится в любой точке комплексной плоскости. Следовательно, точка ветвления целиком унаследована функцией от логарифмической функции. Поэтому не будем здесь рассматривать как многозначную аналитическую функцию; вместо этого сразу же зафиксируем главную ветвь (значение) логарифма[2] в (1) и далее будем считать, что – однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение при интегрировании произведения экспоненты на рациональную функцию

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции, рассмотрим (предполагая, что )

При интеграла (2) не существует. Случай отрицательных вещественных значений следует рассматривать как предельный:

Из (2) и из (3) следует, что при вещественных положительных значениях

где есть т.н. модифицированная интегральная показательная функция [1]:

С помощью формул (2) и (3) результат (4) несложно обобщить на произвольные комплексные значения параметра .

Интеграл (4) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[3], однако же приведённое там выражение, по-видимому, неверно.

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять системам компьютерной алгебры: если maxima честно признается, что не умеет его считать, то Mathematica посчитает неправильно.

Альтернативное определение

Нередко вместо (1) используется альтернативное [несовместимое с (1)] определение

Определение (2) совместимо с (1) только при отрицательных вещественных значениях аргумента.

Интеграл в смысле главного значения в (2) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (2) на случай комплексных значений x].

См. также

Список литературы

  1. 1 2 Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения : []. — 2. — 1963.
  2. Заодно фиксируем также и главную ветвь аргумента:
  3. Прудников, А. П. Интегралы и ряды : [] / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — 2. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Vol. т.1. — P. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.