Интегральная показательная функция

Основное определение

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом

$\operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z)|<\pi ,\;(1)$

где $\gamma$ есть постоянная Эйлера. Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (1) сходится в любой точке комплексной плоскости. Следовательно, точка ветвления целиком унаследована функцией $\operatorname {Ei}$ от логарифмической функции. Поэтому не будем здесь рассматривать $\operatorname {Ei}$ как многозначную аналитическую функцию; вместо этого сразу же зафиксируем главную ветвь (значение) логарифма в (1) и далее будем считать, что $\operatorname {Ei}$ – однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение $\operatorname {Ei}$ при интегрировании произведения экспоненты на рациональную функцию

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции, рассмотрим (предполагая, что $b>0$)

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz}}={\begin{cases}-e^{bz}\operatorname {Ei} (-bz),&\operatorname {arg} z\not \in [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\left[\operatorname {Ei} (-bz)-2\pi i\right],&\operatorname {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{cases}}\;(2)$

При $\operatorname {arg} z=\pi /2$ интеграла (2) не существует. Случай отрицательных вещественных значений $z$ следует рассматривать как предельный:

$z=a<0,\;\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+ia}}=\operatorname {lim} \limits _{\epsilon \to +0}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+i(a+i\epsilon )}}.\;(3)$

Из (2) и из (3) следует, что при вещественных положительных значениях $z$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {cos} (bx)\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left[e^{bz}\operatorname {Ei} (-bz)+e^{-bz}\operatorname {Ei} _{1}(bz)\right],\;(4)$

где $\operatorname {Ei} _{1}$ есть т.н. модифицированная интегральная показательная функция :

$\operatorname {Ei} _{1}(x)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Ei} (x+i0)+\operatorname {Ei} (x-i0)\right]=\gamma +\operatorname {ln} x+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}}.$

С помощью формул (2) и (3) результат (4) несложно обобщить на произвольные комплексные значения параметра $z$.

Интеграл (4) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова, однако же приведённое там выражение, по-видимому, неверно.

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять системам компьютерной алгебры: если maxima честно признается, что не умеет его считать, то Mathematica посчитает неправильно.

Альтернативное определение

Нередко вместо (1) используется альтернативное [несовместимое с (1)] определение

$\operatorname {Ei} (x)=v.p.\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} |x|+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\in \Re .\;(2)$

Определение (2) совместимо с (1) только при отрицательных вещественных значениях аргумента.

Интеграл в смысле главного значения в (2) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (2) на случай комплексных значений x].

См. также

• Интегральный логарифм
• Интегральный синус
• Интегральный косинус