Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование — это любое преобразование фазового пространства системы, сохраняющее его симплектическую структуру, то есть каноническое преобразование — это преобразования канонических переменных и гамильтониана неменяющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как неменяющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае.

Определение

Преобразования

$Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),$

$P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),$

$j=1,\ldots ,s,$, где $s$ — число степеней свободы,

${\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots ,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots ,q_{s};q_{1},\ldots ,q_{s})}}\neq 0,$

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона $H$:

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},$

${\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},$

в уравнений Гамильтона с функцией Гамилтона ${\mathcal {H}}$:

${\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},$

${\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.$

Переменные $Q_{i}$ и $P_{i}$ новыми координатами и импульсами, соответственно, а $q_{i}$ и $p_{i}$ — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна можно получить:

$\sum \limits _{i=1}^{s}p_{i}dq_{i}-Hdt-c\left(\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}\right)=-dF,$

где постоянную $c\neq 0$ называют валентностью канонического преобразования, $dF$ — полный дифференциал некоторой функции $F(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t)$ (предполагается, что $P_{i}$ и $Q_{i}$ также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования.

Канонические преобразования для которых $c=1$ называется унивалентными.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных $p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i}$, причём выбор независим для каждого $i=1,\cdots ,s$.

Пусть $F_{1}(q,Q,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial q\,\partial Q}}\neq 0$

Тогда она задаёт каноническое преобразование по правилу

$p={\frac {\partial F_{1}}{\partial q}}$

$P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}}$

${\mathcal {H}}=H+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}$

где $(q,p)$ — старые координаты и импульсы системы, а $(Q,P)$ — новые координаты и импульсы.

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

${\mathcal {S}}=\int \mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt$

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..
• Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — СПб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..