Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование  (также контактные преобразвания) — это преобразование канонических переменных и гамильтониана не меняющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение

Преобразования

$Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),$

$P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),$

$j=1,\ldots ,s,$, где $s$ — число степеней свободы,

${\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots ,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots ,q_{s};q_{1},\ldots ,q_{s})}}\neq 0,$

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона $H$:

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},$

${\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},$

в уравнений Гамильтона с функцией Гамилтона ${\mathcal {H}}$:

${\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},$

${\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.$

Переменные $Q_{i}$ и $P_{i}$ новыми координатами и импульсами, соответственно, а $q_{i}$ и $p_{i}$ — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна можно получить:

$\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^{s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,$

где постоянную $c\neq 0$ называют валентностью канонического преобразования, $dF$ — полный дифференциал некоторой функции $F(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t)$ (предполагается, что $P_{i}$ и $Q_{i}$ также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых $c=1$ называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные $c$ изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных $p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i}$, причём выбор независим для каждого $i=1,\cdots ,s$. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого $i$ одна переменная был новой, а другая старой. Существует лемма утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции $F$ имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)$. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции $F$. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех $i$ возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

$F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}(p,P,t),$

где для простоты введены векторы старых скоростей и импульсов $p=(p_{1},\cdots ,p_{2})$, $q=(q_{1},\cdots ,q_{2})$, аналогично и для новых скоростей и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа

Пусть $F_{1}(q,Q,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0$

Тогда она задаёт каноническое преобразование по правилу

$p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}},$

$P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}},$

${\mathcal {H}}=H+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

$\det \left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)\neq 0.$

Производящая функция 2-го типа

Пусть $F_{2}(q,P,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0$

Тогда она задаёт каноническое преобразование по правилу

$p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}},$

$Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P}},$

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{H} = H + \frac{\partial F_2}{\partial t}.}

Связь с исходной производящей функцией:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle F_2(q,P,t) = F(p(q,P,t),q,t) + P Q(q,p(q,P,t),t).}

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

$\det \left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)\neq 0.$

Действие как производящая функция

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

${\mathcal {S}}=\int \mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt$

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..
• Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — СПб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..